RadASM no es mas que un IDE y ese tutorial es para MASM32, volve a leer con mayor detenimiento, sino aca tenes el original:

http://win32assembly.online.fr/winsock.html

El RadASM trae un Readme.txt, dale una ojeada.

De nadas 

Cuando quieras empujar y sacar algo de la pila  Cuando uses una convencion de llamada que pase los parametros en la pila como C y stdcall por ejemplo.

Sirven para eso mismo ... en este codigo sirven para guardar el valor que tengan en la pila (push), ejecutar las funciones que cambian el valor de esos registros y posteriormente restaurarlos (pop). DEPURA tu codigo y despues el codigo que funciona y vas a verlo mucho mas claramente.

PD. El orden que mencionaste no es correcto, primero se empuja ecx, despues eax y por eso mismo primero se saca eax y despues ecx.

Cualquier funcion que llames puede afectar a los registros que no se preservan, muy especialmente eax que ademas es el valor de retorno de una funcion:

bucle:
push ecx
inc eax
push eax
invoke wsprintfA, nSum,'%d',eax
add esp,12
invoke MessageBoxA, 0,nSum,nSum,0
pop eax
pop ecx
loop bucle

No, la mejor manera de que lo comprendas es depurandolo pero como dije al principio y dice tambien en el enlace que deje sobre loop:
... ejecuta el codigo del bucle (inc eax) un numero X de veces (de acuerdo al valor de ECX).

La C de ECX viene de COUNT, por eso la instruccion loop del microprocesador usa ese registro, el inc eax es unicamente el codigo del bucle en si mismo, es lo que hace, ahi podias poner cualquier cosa.

Esto es assembly puro, ejecuta el codigo del bucle (inc eax) un numero X de veces (de acuerdo al valor de ECX):

mov ecx, 5
xor eax, eax
bucle:
inc eax
loop bucle

http://pdos.csail.mit.edu/6.828/2006/readings/i386/LOOP.htm

Tambien podes hacerlo con cmp's y jmp's.

mov ecx, 5
xor eax, eax
bucle:
inc eax
dec ecx
cmp ecx, 0
jne bucle

Tambien podrias hacer lo contrario, iniciando el contador a 0, incrementandolo en cada pasada y comprobando si es igual (o mayor como en el ejemplo siguiente) al limite:

xor ecx, ecx
xor eax, eax
bucle:
inc eax
add ecx, 2
cmp ecx, 9
jna bucle

Este bucle se ejecutara mientras el resultado devuelto por func sea diferente de 0:

bucle:
call func
cmp eax, 0
jne bucle

Podes hacer uso de JCC tambien.

invoke es una directiva que el ensamblador reemplazara por el pasaje de parametro necesario (normalmente push's si la convencion de llamada establece que los parametros van en la pila) y el call mismo. Es decir, finalmente es exactamente lo mismo.