Para que un checkbox esté amrcado, le pones el atributo checked="checked"
<input type="checkbox" checked="checked" />
En la base de datos, puedes poner lo más parecido a un booleano, por ejemplo, un TINYINT(1).
Luego, en PHP, al escribir el HTML, puedes hacer simplemente:
echo '<input type="checkbox"';
if($var)
echo ' checked="checked"';
echo ' />';
Para que al marcar se modifique en la abse de datos directamente, tendrías ya que usar javascript, capturar el evento
oninput, y hacer una petición (o enviar un formulario) a tu PHP.