Pues muchos routers llevan la opción de DynDns o similar, es decir un host, dominio o dirección fácil de recordar que apunte siempre a a tu IP, sea la que sea y se actualiza automáticamente.
En principio bastaría con abrir el puerto (port forwarding) pero eso dará acceso público, lo ideal sería usar una VPN por seguridad. o sólo dejar acceder desde ciertas ip's o dispositivos.
¿Normalmente suelen usar una aplicación desde el teléfono móvil para controlar el termostato? Sólo espero que este tipo de aplicaciones sean seguras.