Hay que ver el circuito entero. Puede que los nudos marcados estén relacionados y las resistencias estén en paralelo o forman parte de circuitos diferentes.

Con strcmp comparas dos cadenas, devolverá un 0 si son iguales un positivo si una es mayor que la otra o un negativo si la otra es mayor que la una. Después tienes qsort, que hace uso de un mecanismo parecido a strcmp para ordenar un array (puede ser un poco complicada para un principiante), aunque puedes hacerlo a mano.

Lo principal es parar la búsqueda cuándo ya no quede más árbol, por tanto deberás parar la búsqueda por una rama cuándo la hoja sea NULL. Lo mismo con la otra.
Si encuentras el elemento, lo cargas en aux y regresas de la función (¿te suena?) Si por las dos ramas has llegado a NULL simplemente regresas dejando aux como NULL (la clave está en inicializar bien), que querrá decir que no se ha encontrado nada.

Lo más fácil es que busques en la tabla ASCII. En google la encontrarás. Escribes dicho caracteres como octal o hexadecimal y listo.

Mezclas C y C++, además de que confundes tipo con variable.
En tu union dices:

union polizas
{
    struct autos;
    ...
};

Las uniones, al declararlas necesitan indicar qué nombres tomaran las variables que habrá dentro. 'struct autos' solo es un tipo de dato, falta el nombre de la variable.

Después usas mal una función. Tu dices:
Pasas a la función autos un argumento cuándo aquí

struct autos
    {
        ...
        autos(){
        ...
    }

no hay argumento y no se puede inferir.

Lo que ocurre es que el compilador trabaja de forma secuencial, es decir, no puedes usar algo sin antes haberlo declarado (haberle dicho al compilador que existe).

Por ejemplo, línea 11:

ese struct instalacion_deportiva no existe en el momento de usarlo ya que lo defines en la línea 33.

Así que debes ordenar tu código para usar las cosas en el momento adecuado o haz declaraciones incompletas, eso es, solo defines los tipos de datos y más adelante los defines.

Separa el problema en otros más pequeños:
Tienes que pedir letras, por lo que tendrás que pedir algo al usuario.
Tendrás que buscar subcadenas, para encontrar las palabras que inicien con las letras dadas.
Tendrás que concatenar letras a una cadena anterior para ir construyendo la cadena a buscar, o tal vez te interese otra forma de hacerlo usando listas.
Tendrás que presentar los resultados.
Tendrás que usar el mismo cuadro de texto para la introducción (lo dice el enunciado) y por tanto trabajar con la configuración de la consola.

Lo dicho, separa el problema en otros más pequeños. Cuándo todos funcionen el programa funcionará solo.

De igual forma, como const son "variables" no se pueden usar para crear arrays por el hecho de que en C no se pueden dimensionar arrays con variables (después hay compiladores con extensiones que si dejan), pero por otra parte los debuggers y otros programas de desarrollo sí pueden controlar estos datos.
Los defines, al ser parte del fuente no se pueden controlar por los debuggers pero sí pueden ser usados para dimensionar arrays, pues el compilador ve un número.

Creas dos arrays de la misma estructura: vservicios y vzona de 5 y 10 elementos respectivamente ¿por qué?. Los servicios y la zona son datos de la misma estructura no hay que separarlo después en un array. Además ¿dos números diferentes de elementos de cada estructura?

Este es un ejercicio de estructuras. Con variables de datos básicos no la vas a sacar.
Debes preparar una estructura para que aloje todos los datos de cada instalación,
también deberás usar, según lo que he leído en el enunciado, memoria dinámica (malloc, free, ...) para incluir en una lista las instalaciones que se van haciendo.
Deberás usar funciones que hagan uso de esta lista e identifiquen los datos necesarios para realizar el conteo que te piden.

También puedes liberarte de todo eso usando tantos arrays como tipos de datos diferentes te piden (deberás poner una dimensión aceptable como para alojar todas las posibles instalaciones que se vayan a hacer) y que a cada instalación se le distribuyan los datos en sendos arrays y, por tanto, cada dicha instalación se encuentre en un único índice compartidos por todos los arrays.

Esta segunda opción es más complicada de mantener pero solo sirve si no te han enseñado como usar estructuras.