Lo de eferion no termino de entender lo último... En cualquier caso alabo tu "ocurrencia" para no hablar de métodos que consideras más sofisticados.
Simplemente intento ponerme en la piel del que tiene que resolver una práctica de academia / universidad.
Para bien o para mal, el nivel de los contenidos suele ser más bien bajo... aunque de eso te das cuenta cuando terminas y te pegas con el mundo real.
Podía haberme puesto a rebuscar entre mis libros de algoritmia recursos eficientes y precisos para calcular raíces cuadradas... o bien haber mirado en google... pero eso también podía haberlo hecho el autor del hilo.
Para mí un ejercicio de este tipo no es válido si no comprendes la solución. Si copias y pegas pero luego eres incapaz de comprender cómo has llegado a esa solución no has aprendido absolutamente nada.
Como vaya a calcular la raíz de 10000000 va a tener que iterar 10000000 de veces antes de empezar las aproximaciones propiamente dichas. Y lo del incremento arbitrario que tomas lo admito, como lo anterior, como ejemplo.
Te alejas un poco... para calcular la raíz de 10.000.000 se emplearían unas 40 iteraciones... ya que la idea es reproducir la forma que te enseñan para hacer raíces cuadradas a mano.
Además, para un ejercicio tipo cuando estás aprendiendo no te suelen pedir que calcules la raíz cuadrada de un número de 200 dígitos... más bien te suelen pedir la raíz de un int... y la raíz de 20.000.000 por ejemplo se puede realizar en un tiempo razonablemente corto con el algoritmo que he propuesto... que hay algoritmos ya hechos??? sí, pero no es mi competencia buscarlos para que él resuelva su práctica.
En base a todo esto, y resumiendo, cuando alguien, como en este caso el autor del hilo, es incapaz de hacer una simple búsqueda en google y se limita a esperar a que alguien le sirva la solución en bandeja no espero que cuente con que yo le de dicha solución. Yo le aporto ideas o posibles caminos... pero no le voy a dar la solución porque ese no es el camino...