¿Cómo hago para inicializar el miembro array plane1 dentro de la definición de la estructura con ceros?
MENSAJE DEL COMPILADOR:
[Warning] no semicolon at end of struct or union
 syntax error before '=' token

GRACIAS

1- En C++ 11 puedes hacer algo como:

struct Clients{
       char nombre[50] = {};
       char apellido[50] = {};
       int DNI;
       char clase[1];
       int numberSeat;
       int plane1[10] = {}; // inicializa a 0 todos los elementos
}

2- Puedes usar un constructor para tu estructura, aunque en este punto recomendaria que uses una clase:

struct Clients{
       char nombre[50];
       char apellido[50];
       int DNI;
       char clase[1];
       int numberSeat;
       int *plane1;
       Clients(){
           plane1 = new int[10]();
           // inicializa el resto
       }
};

3- Puedes usar la funcion:
   

memset(plane1, 0, sizeof(plane1));

4- Puedes usar un loop sobre cada elemento de tu array

5- Usa contenedores STL (vector, list, etc) en tu estructura

Saludos