Puedes acceder al form de distintas formas, como has puesto tú, con document.getElementById si tiene un id, con document.forms[] ....

Si puedes poner el html con el select igual te podemos ayudar mejor.

Igual es porque $_POST[mail] y $_POST[email] está mal, debería ser $_POST["mail"] y $_POST["email"]

Si como dices, puedes ejecutar javascript, claro que se puede. Por ejemplo, la forma más simple y cantosa es cambiar el action del form.

En Firefox Ctrl+Mayus+i, en el apartado de Network puedes ver todas las conexiones que hace la página.

Ahora sí no?

No se por qué me da que no está pasando el parametro en la url.
URL/investigadores.php?id_inv=ID

Con NO-IP, tu IP no se queda fija, simplemente hace una relación entre tu IP actual y el dominio que eliges. Así, cuando tu IP cambia el DUC actualiza la relación para que tu dominio ahora apunte a tu nueva IP.

Cierto, me colé , por eso no le funciona de la primera forma.

$conexion = $model->conectar($_SESSION['conexion']);
//o de la otra forma
$conexion = $model->conectar($_GET['cod']);
//o
$conexion = $model->conectar($_REQUEST['cod']);

Slikp, puedes hacerlo utilizando una sesión, para eso tienes que poner en todos los php:

session_start();

y guardar $cod_empresa o $conexion en la superglobal $_SESSION, por ejemplo:

$_SESSION['conexion'] = $conexion;

También puedes enviar $cod_empresa por $_POST, por ejemplo:

header("Location: /ready.php?cod=".$cod_empresa);

y claro haciendo eso, en los métodos de la clase Crud cuando pones:

$conexion = $model->conectar();

tendras que hacer:

$conexion = $model->conectar($_SESSION['conexion']);
//o de la otra forma
$conexion = $model->conectar($_POST['cod']);