Los núcleos van bien para tareas pesadas, como compilar, maquinas virtuales, streaming, trabajos con imagen y audio, navegar con muchas pestañas, varias cosas a la vez... prácticamente todo menos juegos (actualmente pueden usar hasta 4, no más), por qué juegos no? Por culpa de Intel... llevan 7 años sacando 4 núcleos como mainstream, por lo que los desarrolladores no optimizan para más... Y culpa de AMD también por no haber sacado nada bueno, permitiendo a intel dominar (aunque esto es culpa de Intel por sus practicas anti-competitivas... ya que amd era superior en el pasado).
Es una lastima que no quieras SSD, se nota muchísimo en la fluidez del SO y en la carga de los juegos, pero no es imprescindible si no eres un desesperado como la mayoría de los demás

Si el precio va ajustado, no más de 800, entonces yo te recomiendo un ryzen 5
1400 que tiene 4 núcleos y 8 hilos (4c8t), solo valen 157€. Si no quieres hacer overlock, por 14€ más tienes el modelo
1500x, que rinde un poco mejor. Con el disipador de serie deberías ir bien si no vas hacer overclock, los ryzen no se calientan nada, pero si quieres hacer overclock coge el
hyper 212, o si donde vives hace mucha calor en verano.
La placa base, yo cogería esta:
https://www.pccomponentes.com/asus-prime-b350-plus que es de buena calidad y una de las mejores marcas.
En cuanto a RAM, teniendo en cuenta el precio yo te diría que cogieras 8GB (2x4) y si en un futuro necesitas más coges otro par (o inmediatamente cuando vuelvan a bajar de precio). Ten en cuenta que Ryzen se beneficia mucho de las frecuencias altas, por lo que si no quieres hacer overclock coge como mínimo una con 2666MHz y luego en la configuración UEFI asegúrate de que está funcionando a esa frecuencia (aunque creo que es lo mismo que hacer overclock, no soy un experto en el tema...).
La caja no debería influir ni dar problemas si está en buen estado. Si no te ha dado ningún problema hasta ahora, no hay razón para cambiarla. Puedes comprobar que no haya ningún material que sea conductor tocando entre donde descansa la placa y detrás, para que no se produzcan corto circuitos.
La fuente de alimentación te recomiendo las Seasonic, es una de las mejores marcas y con diferencia, yo diría que es la mejor, ya que ofrece 12 años de garantía y son muy eficientes. Eso si, valen unos 50€ más cara que las demás, pero vale cada euro.
La gráfica, en unos 3 o 4 meses puede que hayan bajado de precio, mirate entre la nvidia 1070ti y la radeon rx 580 deberían estar a la par, depende del juego. Ahora mismo la 1070 esta inflada de precio, 450 o mas dependiendo del precio y la 580 está a 299 o más.
¿Tu monitor es 1080p? Si es así, con la 580 vas a poder jugarlo todo a ultra sin problemas y está más barata.