Asignarle algún valor a la variable Rep

Tengo la impresión que tienes que usar dijkstra 2 veces, una vez desde el origen a uno de los puntos y otra desde ese punto al otro.

No es claro que es lo que no entiendes, si el algoritmo o como hacerlo en C++.
Como cualquiera de estas 2 podría implicar una respuesta extensa, sugiero buscar antes en Google y volver aquí con una duda específica.

El switch está controlado por un valor de A.mm
Es superfluo hacerlo parte del if que acompaña cada opción
es imposible que el valor sea simultáneamente un valor y además cumpla las condiciones de los if.
.

No leas como int
 Lee un string siempre, conviertelo a int después usando atoi() o similar.

Cuando invoques la funcion usando el puntero p, elige una de estas 2 opciones, ambas deberian funcionar.

- Usa p sin *,  osea  p( parametros... )
- Desreferencia primero,      (*p)( parametros .. )

No parece haber codigo que compare y de vuelta libros. Veo un codigo que compara y da vuelta auxref dentro de libros, pero no libros. Siendo asi, los libros no se van a ordenar.

Hay mucha redundancia posible de eliminar.
Sugiero hacer una funcion que compare 2 coordenadas

bool iguales(coordenadas c1, coordenadas c2);

y este se use en la comparacion de punto_geografico

bool iguales(punto_geografico p1, punto_geografico p2) {
   return iguales(p1.longitud, p2.longitud) && 
          iguales(p1.latitud, p2.latitud);
}

y dado que los valores de los elementos de una coordenada estan limitados, sugiero hacer una conversion de los numeros antes de compararlos.

Por ejemplo:

long convertir(coordenadas c) {
   return c.grados* 10000 + c.minutos*100 + c.segundos;
}

En el fondo lo que se quiere hacer, si es que la aritmetica no me falla, es convertir 3 numeros sueltos en un solo numero: por ejemplo:  grados 165, minutos 32, segundos 87 se convierte en 1653287.

Con ello se hace 1 sola comparacion numerica y 1 del caracter.
iguales (la version que compara de coordenadas) se transforma en:

bool iguales(coordenadas c1, coordenadas c2) {
    return c1.direccion == c2.direccion && 
           convertir(c1) == convertir(c2);
}
 

Si el codigo es una sucesion de condiciones que tienen que cumplirse para que sea true y si no se cumple cualquiera de ellas, el valor de verdad deberia ser falso, puede reemplazarlo por 1 return, ningun if, ninguna variable, ninguna asignacion.

bool f() {
   return condicion1 && condicion2 && .... ;
}

Sugiero no hacer cout en las funciones, retorna un valor que el usuario de tu TAD use para imprimir si quiere.

- igualdad_fechas que retorne bool
- comparar_fechas que retorne un valor numérico, similar a strcmp
- mostrar_mes podría tener un arreglo de strings, similar a lo que se hace entros métodos con la cuenta de días.
- casi todos los métodos tienen nombre que termina en _fecha excepto bisiesto y días. Sugiero eliminar el _fecha de todos los nombres o bien, a la atención*, poner fecha al inicio, incluyendo v bisiesto y días.

Ademas, comparar_fechas tiene un bug, pásale 2 fechas, mismo mes, mismo año, la.primera menor que la segunda y ve que retorna/escribe tu función.