Sugiero no hacer cout en las funciones, retorna un valor que el usuario de tu TAD use para imprimir si quiere.

- igualdad_fechas que retorne bool
- comparar_fechas que retorne un valor numérico, similar a strcmp
- mostrar_mes podría tener un arreglo de strings, similar a lo que se hace entros métodos con la cuenta de días.
- casi todos los métodos tienen nombre que termina en _fecha excepto bisiesto y días. Sugiero eliminar el _fecha de todos los nombres o bien, a la atención*, poner fecha al inicio, incluyendo v bisiesto y días.

Ademas, comparar_fechas tiene un bug, pásale 2 fechas, mismo mes, mismo año, la.primera menor que la segunda y ve que retorna/escribe tu función.