Al parecer no estas entendiendo vien el termino de Integral por sumatoria.
Si te ubicas en
Eso es una Parabola hacia arriba con vertice en (0,5) Y digamos que queremos calcula el area bajo la curba de -5 a 5 (Eje X) y lo divides en 10 pedasos o segmentos entonces cada segmento tendra una longitud de 1 si haces la formula:
vsegmento = ancho / segmentos;
Donde el ancho es X2-X1 (5 -(-5)) = 10 entre 10 seria uno...
Entonces el primer punto en tu for debe de ser -5 (limite inferior)
area = 0-0;
for (i=liminferior; i<=limsuperior; i++)
{
area += vsegmento*(i*i+5); // ESTA ES LA SUMATORIA
i+= vsegmento;
}