Eso no es PHP, es javascript (<script></script>).

La respuesta es, no se puede. Las medidas de seguridad de los navegadores impiden cualquier acción directa sobre sus elementos (alert - mostrar una ventana de navegador).

La solución pasaría por crear una "imitación" de un alert. Hay muchos en Internet, es cuestión de buscar.

Ejemplo:
http://www.cssportal.com/blog/css-notification-boxes/

Saludos

También puedes:

alert = function() {console.log(arguments[0]);};
 

Claro que de esta manera, TODOS los alerts enviarán el mensaje a la consola.
O incluso puedes combinar las dos cosas, de manera que los alerts desemboquen en esas ventanas que hayas encontrado, de tal modo que sí se puedan cerrar automáticamente, pero que no pierdan su esencia de ventanas. Lo que no sabría decirte es cómo hacerlo para que la ventana sea código-bloqueante, igual que lo es el alert.
Venga, un saludo!