Recorde algo de las clases de geometria analitica

Se tiene los puntos:

A=(a1,a2,a3); B=(b1,b2,b3); C=(x,y,z); y el radio 'r' de la esfera

Luego por las condiciones dadas de cumplira:


1. (x-b1)^2 + (y-b2)^2 + (z-b3)^2 = r^2   (Ecuación de la esfera)

2. C = A+t*(B-A); para algún t                     (Ecuación vectorial de la recta)


Sustituyendo el valor de C=(x,y,z) en la ecuación 2 se tiene:

(x,y,z) = (a1,a2,a3)+t*(b1-a1,b2-a2,b3-a3)

(x,y,z) = (a1+t*(b1-a1),a2+t*(b2-a2),a3+t*(b3-a3))

<==>

3.          x = a1+t*(b1-a1)
             y = a2+t*(b2-a2)
             z = a3+t*(b3-a3)

Reemplazando en 1 y simplificando se obtiene:

(t-1)^2*((b1-a1)^2+(b2-a2)^2+(b3-a3)^2) = r^2

Despejando t:

t=1+sqrt((r^2)/((b1-a1)^2+(b2-a2)^2+(b3-a3)^2))

Se sustituye este valor en las ecuaciones 3 y se obtine el valor para C=(x,y,z)  

Ahi va la explicación, aunque seguramente estará mejor explicado en los libros  

En esa fórmula  '+' y  '-' denotan operaciones con vectores y '*' es una operación entre un número real y un vector...

La anterior fórmula puede ser vista como una forma abreviada de escribir las siguientes ecuaciones:

    x = a1 + t*(b1-a1)
    y = a2 + t*(b2-a2)
    z = a3 + t*(b3-a3); para t que pertenece a los reales

Este grupo de ecuacíones determina la recta que pasa por los puntos A y B porque para distintos valores de t nos devolvera los puntos de la recta. Por ejemplo, para:

t=0; P=(x,y,z)=(a1,a2,a3)                            (el punto A)
t=1; P=(x,y,z)=(b1,b2,b3)                            (el punto B)
t=1/2; p=((a1+a2)/2,(b1+b2)/2,(a3+b3)/2)   (el punto medio entre A y B)

En el problema que planteaste, si C=(c1,c2,c3) es un punto de la recta que pasa por los puntos A y B entonces existe un 't' tal que se cumplira:  

c1 = a1 + t*(b1-a1)
c2 = a2 + t*(b2-a2)
c3 = a3 + t*(b3-a3)

etc, etc

Lo demás creo que ya esta entendido

Saludos.