Si se puede, hice algo parecido pero con un boton de ciculo no me acuerdo,
puedes probar,
con Timer y TimerTask que a cada cierto tiempo lea lo que hay en el TextArea y luego lo guarde en el boton (si no mal me acuedo) textArea.getText() (String)
y luego al boton.setText(textArea.getText());
espero que te sirva
yo hice otra cosa
En un Objeto  Serializado guardaba un nombre y a veces yo lo cambiaba pero la en el boton de circulo seguia con el nombre antiguo y hice dos cosas para cambiar el nombre al actual
remodifique el metodo setVisible(boolean) para que cada vez que se hiciera visible cambiase el nombre y lo otro que hice cuando uno pasaba el mouse sobre el componente (usando listener) cambiase el nombre
-solo debes buscar donde es mejor realizar el cambio usando listeners(escuchadores creo que suena mejor listener)
espero que te sirva mi ayuda
a y si tienes el netbeans por ahi, ese tiene una lista con los listener disponibles (usando el editor GUI) pero no te recomiendo crearlos con el por razones de codigo.
XAU XAU suerte.
espero que te haya ayudado de algo