Si es una placa muy antigua mira los condensadores electrolíticos

Son unos cilindros "gordos" que suelen rondar por cerca de la CPU y forman parte de las fases de estabilización de corriente. Esos condensadores tienen a "rezumar" y a perder efectividad con el tiempo y son un tanto frágiles con las sobretensiones. Si ves uno "tocado" puede que por ahí vayan los tiros

Una vez me paso lo mismo con una pc vieja y era el cooler efectivamente estaba tapado...Revisalos todos, la ram usa una goma de borrar y limpiala... Si tienes algo que genere mucho aire como un compresor usalo para limpiar bien el cpu y la fuente de poder... Aunque lo que parece mas lógico es que tu pc esta trabajando a sobremarcha si es una pc muy vieja las cosas que nos parecen comunes hoy pueden tenerla colapsada, metete en el administrador de tareas y revisa el comportamiento de la ram y el procesador si alguna de las 2 esta por mucho tiempo al 100% o cerca puede que eso sea lo que esta causando los reinicios... Puedes tambien revisar la bios en busca de algún disparador de temperatura que este muy bajo...

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Gracias por las sugerencias. Probaré al menos las más fáciles.

Hace poco estuve haciéndole una limpieza a fondo a Windows. Desinstalé mogollón de software que ya no se va a usar, incluidos drivers que lo ralentizaban mucho y que ya no se usan.

Luego lo limpie y reparé con Ccleaner y después con el Argente registry Cleaner. Este último encontró y reparó 3000 y pico fallos en el registro. Lógico después de todo lo que desinstalé.

El caso es que a nivel de software el pc está casi pelado ya que se va a dedicar exclusivamente a una aplicación que apenas consumirá recursos y que aún no he tenido tiempo de probar sola.
A penas he podido darle uso a esa aplicación, porque me gustaría dejar a punto el PC.

Resumiendo, antes de reinstalar windows se reiniciaba. Después de limpiarlo y probar si eran los módulos de memoria se reinicia igualmente. Por eso sigo sospechando que es cosa del Hardware.

No he tocado la Bios, así que me extraña que sea eso. De todos modos no puedo tocar nada porque no veo más que rayas verticales en la pantalla hasta que arranca Windows y aparece el escritorio. Supongo que es porque la tarjeta gráfica es vieja y no se entiende con el monitor nuevo... pero a ver si va a ser la tarjeta la que está chunga y provoca todo lo demás.

En fin... que no hago más que dar palos de ciego.

Cambia la pasta térmica y prueba con otra fuente de poder.

Saludos.

Gracias a todos por las sugerencias. Tocaré todos los puntos y os cuento. 

Buscaré algún tuto sobre los coolers y la pasta térmica. Igual no la estoy usando correctamente...