Jaja muy bueno lo de hacerlo a mano 

Usando esa fórmula se podría optimizar el código y obtener los resultados para los cuadrados de i hasta i+49, verdad?

Mirándolo mejor, creo que no es necesario sumar cada vez 50 cuadrados, ya que bastaría sumarlos la primera vez solamente y luego restar por la izquierda al más pequeño y sumar por la derecha al siguiente, osea:

#include<stdio.h>
 
int main()
{
    int i = 0,j=0;
    int suma = 0;
    for(i=1; i <= 50; i++)
         suma += i*i;
   while (1){
 
        if (suma==26110725){
             break;
        }
        j++;suma+=-j*j+(50+j)*(50+j);
    }printf("La suma  es %d desde %d hasta %d\n",suma,j+1,j+50);
    /*****************Para comprobar******************/
   suma=0;
            for(i=j+1 ; i <= j+50; i++){
                printf("%d x %d = %d\n ", i,i,i*i);
                suma += i*i;
            }
         printf("La suma es: %d\n", suma);
    return 0;
}
 

Saluditos!.