¿Cuál es la razón de usar una cadena? Usando array, vector, o manejo dinámico de memoria te evitas conversiones. Y si quieres imprimir los números por pantalla, en un bucle directamente muestras variable[ i ], y listo. Y nada impide que agregues un cout << "," si quieres separarlos. Si forzosamente quieres poder imprimirlos todos en una sola instrucción y por eso te gustó la idea de la cadena, te va a tomar algo de trabajo, porque el ejemplo de arriba con una cadena, en realidad no te sirve. La línea
numeros += i;
no está metiendo en numeros los caracteres '0', '1', sino los valores numéricos 0, 1, etc., que no representan caracteres válidos (el 0, por ejemplo, es el nulo, o fin de cadena). Por lo tanto, numeros no es una cadena válida, y no vas a poder imprimirla directamente. La única ventaja que te aportaba el uso de string aquí se pierde, así que no hay razón para hacerlo.
Si aún así en verdad quieres usar una cadena, lo primero es que, como ya te recomendaron, tomes un manual y leas al menos lo básico de string y la STL en general. Aunque hay varias maneras de hacer las conversiones que quieres y no es difícil, no veo mucho sentido a ponerte código de eso, dado que, con poco que lo toques, seguramente te dará problemas y tendrás más dudas que al principio. La STL podrá tener ciertas ventajas, pero no es fácil ni amigable. De hecho, desde el punto de vista de la usabilidad, a muchos nos parece una atrocidad, aunque una vez que agarras un poco de experiencia no es tan mala.
Otra opción menos complicada podría ser la función strtok, pero tiene sus inconvenientes. Puedes buscarla en Google y ver si la quieres usar, pero insisto en que son más recomendables las otras alternativas. Y siempre puedes convertir los números a cadena (mucho más fácil que lo contrario) con la función to_string(). Por ejemplo, esto:
cadena += to_string(vec[i]);
convierte el valor del elemento i de un vector, en un string y lo añade al final de cadena. De esta manera tienes el vector para acceder a los valores individuales, y la cadena para imprimirlos en una sola instrucción (aunque reitero, no es nada difícil y sólo toma un par de líneas imprimir todos los elementos manualmente).