¡Buenas SonaArtica!

No he ejecutado tu programa pero creo que tiene un par de fallos...

1) el bucle se ejecuta 59 veces cuando deberia ser 60. El array va desde 0 hasta 59 y tu bucle va desde 1 hasta 59. Asi que el bucle escribelo asi:

for(i=0;i<60;i++){
//codigo
}

2) y los if del bucle no son del todo correcto si te fijas, pones

                        if (i==1 || tiempo[i-1]<mejortiempo){
                                 //codigo
                        }
                        if(i==1 || tiempo[i-1]>autoganador){
                                 //codigo
                        }
 

Para el caso i==1 entras en ambos if y lo que hagas en el segundo puede anular lo que hayas hecho en el primero. Y ademas no calculas bien el perdedor.....(usa else para que tu programa sea mas eficiente)

Yo lo haria asi...:

#include <stdio.h>
#include <conio.h>
/* Se deben cargar en un vector los tiempos de clasificacion de 60 autos.
		Los autos se identifican con numeros correlativos del 1 al 60.Se pide determinar:
      a)Numero de Auto que clasifico primero.
      b)Peor tiempo de clasificacion. */
main(){
       int tiempo[60];
       int autoganador=0;
       int i=0;
       float peortiempo,mejortiempo;
 
        //el primero es el mejor y el peor al mismo tiempo ya que es el unico
       printf("Ingrese Tiempo de auto %d \n",i);
       fflush(stdin);
       scanf(" %f",&tiempo[0]);
       peortiempo=tiempo[0];
 
       //pedimos que ingrese datos y comparamos
       for(i=1;i<60;i++){
                        printf("Ingrese Tiempo de auto %d \n",i);
                        fflush(stdin);
                        scanf(" %f",&tiempo[i]);
                        if (tiempo[i]<mejortiempo){
                            autoganador=i;
                            mejortiempo=tiempo[i];
                        }//Cierre del If que saca al auto ganador
                        else(tiempo[i]>peortiempo){//ESTA LINEA HA CAMBIADO!
                              peortiempo=tiempo[i];  
                        }//Cierre del If que saca el peor tiempo
       						}
       printf("El auto ganador es %d con el tiempo de %f \n",autoganador+1,mejortiempo);
       printf("El auto con peor tiempo fue de %f \n",peortiempo);
getch();
return 0;
}
 

En caso de empate  con mejor tiempo tanto tu programa como el mio imprimiran el primer coche....

NOTA: el codigo lo he hecho a ojo y no lo he compilado pero creo que es correcto el algoritmo.

Un saludo.