Buenas, en estos días estaba por aquí un alguien preguntando sobre un programa básico con pi, por cosas de la vida, decidí ahondar en el tema... calcular pi con alta precisión...

deja claro que el siguiente tema no lo hago en pro de discutir la naturaleza de pi, ni nada al respecto, es solo en pro del calculo de alta precisión

aquí básicamente solo hay 2 temas importantes que abordar

-¿qué formula usar?
-¿como calculo números en alta precisión?

con lo primero... la formula, decidí usar la de euler

escogí esta por su precisión y su relativamente fácil aplicación

para aplicarla la tenemos que separar en 2 partes por su sumatoria y su factorial...

sumatoria = factorial = 1;
for(i=1;i<ciclos;i++){
    factorial *= i/(i*2+1);
    sumatoria += factorial;
}
sumatoria *=2;
pi = sumatoria
 

ahí resolvemos esa formula básicamente... pero nos damos cuenta de un problema... los numeros double están limitados a 64 bits... unos 20 decimales para nuestro caso...

en este caso viene la aritmetica de alta precisión, GMP... aquí en el foro buscaba como usarlo... al final conseguí y publiqué el como...

este usa unidades especificas y operaciones especificas para alta precisión...

doy una ligera explicación de lo usado... no voy a caer en mucho detalle de las funciones...
mpf_t es una variable de tipo "float" propia
mpf_set_default_prec da el valor en bytes que la variable usará
mpf_init_set_str inicializa las variables desde un string... por que un string? porque quise -.-... se hay que inicializar las variables obligatoriamente

mpf_set_ui da un valor desde un entero sin signo a un float
div= division, mul = multiplicaccion, add= adición

mpf_get_str convierte de float de GMP a char* (string)

como no habia una multiplicacion / asignacion directa, me tocó usar una variable de intercambio


ahora la parte interesante... el codigo  

hice un pequeño/bonito formato de impresión de 10 en 10 dígitos... en  lineas de 50 y bloques de 500 con el numero de dígito como indicador... probé solo hasta 40.000 dígitos, comprobando en internet precisos... pero en 5min 9 seg! es mi único intento en este campo... no esperen romper el record mundial de decimales ;P por cierto... de ahí en adelante, los dígitos son cuesta arriba... así que cuidado con el tiempo... pueden usar el programa pasando el numero de dígitos como argumento... los dígitos los toma en cuanta de 100 en 100

pd: la precisión la hago como  "precision = digitos * 100 * 3 * 1.12" porque descubrí que se requieren 3 ciclos por dígito correcto sobre los 100 con un 12% de error (calculado a ojo)



librerias

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <gmp.h>
#include <gmpxx.h>
#include <time.h>
#include <sstream>
using namespace std; // :P
 

prototipos

string metodo_euler(unsigned long int digitos, mp_exp_t &exponente);
string metodo_ramanujan(unsigned long int digitos, mp_exp_t &exponente);
void imprimir_pi_aux(string pi, mp_exp_t exponente, int digitos);

main

int main(int argc, char **argv) {
    unsigned long int digitos = strtol(argv[1], NULL, 10); //argv a int
    mpf_set_default_prec(32 * 10 * (digitos / 100) * 1.11); //precision + 10%
    long exponente;
    clock_t start = clock();
    string pi;
    int metodo = 0;
    int i = 1;
    for (i = 0; i < argc; i++) {
        if (argv[i][0] == '-') {
            switch (argv[i][1]) {
                case 'e':
                    metodo = 0;
                    break;
                case 'r':
                    metodo = 1;
                    break;
            }
        }
    }
    switch (metodo) {
        case 0:
            cout << "imprimiendo por metodo Euler, " << digitos * 3 * 1.12 << " ciclos"<<endl;
            pi = metodo_euler(digitos, exponente);
            break;
        case 1:
            cout << "imprimiendo por metodo Ramanujan, " << (int) (digitos / 8 * 1.01) << " ciclos"<<endl;
            pi = metodo_ramanujan(digitos, exponente);
            break;
    }
 
    clock_t end = clock();
 
    imprimir_pi_aux(pi, exponente, digitos);
    cout << "\ntiempo total de ejecucion: " << (float) (end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "\n";
    cout << "tiempo total de impresion: " << (float) (clock() - end) / CLOCKS_PER_SEC << "\n\n";
    return 0;
}

tiene 2 argumentos... primero los digitos (obligatorio)... luego -r para ramanujan o -e para euler (opcional, euler predeterminado)

imprimir_pi_aux

para tener un formato único de impresión para todo

void imprimir_pi_aux(string pi, long exponente, int digitos) {
    cout << "Pi: ";
    stringstream aux;
    unsigned long int i;
    if (exponente <= 0) {
        cout << "0.";
        while (exponente < 0) {
            cout << 0;
            exponente++;
        }
    } else {
        for (i = 0; i < exponente; i++) {
            cout << pi[i];
        }
        cout << ".\n\n1:\t";
    }
    for (i = exponente; i < digitos + 1; i++) {
        aux << pi[i];
        if ((i - exponente + 1) % 10 == 0) aux << ' ';
        if ((i - exponente + 1) % 500 == 0) aux << endl;
        if ((i - exponente + 1) % 50 == 0 && i < digitos) aux << endl << i + 1 << ":\t";
    }
    aux << endl;
    cout << aux.str();
}

aux por consejo de amchacon

metodo_euler

corto, simple, pero largo... para 10.000 dígitos 33.600 ciclos o para mi unos 11 seg

basado en la formula

string metodo_euler(unsigned long int digitos, long &exponente) {
    digitos /= 100; //trabaja con lotes de 100
    unsigned long int precision = digitos * 100 * 3 * 1.12;
    unsigned long int x, i;
    mpf_t factorial, sumatoria, buff_factorial; //variables GMP
    mpf_init_set_ui(factorial, 1); //factorial=1
    mpf_init_set_ui(sumatoria, 1); //sumatoria=1
    mpf_init_set_ui(buff_factorial, 1); //buff_factorial=1
 
    for (x = 1; x < precision; x++) {
        i = 2 * x + 1;
        mpf_set_ui(buff_factorial, x); //buff_factorial=x
        mpf_div_ui(buff_factorial, buff_factorial, i); //buff_factorial*=i
        mpf_mul(factorial, factorial, buff_factorial); //factorial*=buff_factorial
        mpf_add(sumatoria, sumatoria, factorial); //sumatoria+=factorial
    }
    mpf_mul_ui(sumatoria, sumatoria, 2); //sumatoria*=2
    return mpf_get_str(NULL, &exponente, 10, 0, sumatoria);
}

metodo_ramanujan

por consejo de do-while, basado en la formula

eficiente, pero dificil de aplicar (si no, miren el codigo de abajo)
para 10.000 digitos 1.262 ciclos en 1.1 segundos

string metodo_ramanujan(unsigned long int digitos, long &exponente) {
    digitos /= 8;
    digitos *= 1.01;
    unsigned long int i, j;
    mpf_t sumatoria, buff_sumatoria, buff_ciclo_superior, buff_ciclo_inferior, primera_parte,
            buff_ciclo_inferior2, factorial_superior, factorial_inferior;
    mpf_init_set_ui(sumatoria, 1103); //sumatoria=0
    mpf_init_set_ui(buff_sumatoria, 0); //buff_sumatoria=0
    mpf_init_set_ui(buff_ciclo_superior, 0); //buff_ciclo_superior=0
    mpf_init_set_ui(buff_ciclo_inferior, 0); //buff_ciclo_inferior=0
    mpf_init_set_ui(primera_parte, 0); //primera_parte=0
    mpf_init_set_ui(buff_ciclo_inferior2, 0); //buff_ciclo_inferior2=0
    mpf_init_set_ui(factorial_superior, 1); //factorial_superior=1
    mpf_init_set_ui(factorial_inferior, 1); //factorial_inferior=1
    mpf_sqrt_ui(primera_parte, 2); //primera_parte=sqrt(2)
    mpf_mul_ui(primera_parte, primera_parte, 2); //primera_parte*=2
    mpf_div_ui(primera_parte, primera_parte, 9801); //primera_parte/=9801
 
    for (i = 1; i <= digitos; i++) {
        for (j = (i - 1)*4 + 1; j <= i * 4; j++) {
            mpf_mul_ui(factorial_superior, factorial_superior, j);
        }
        mpf_set_ui(buff_ciclo_superior, 26390);
        mpf_mul_ui(buff_ciclo_superior, buff_ciclo_superior, i);
        mpf_add_ui(buff_ciclo_superior, buff_ciclo_superior, 1103);
        mpf_mul(buff_ciclo_superior, buff_ciclo_superior, factorial_superior);
        mpf_mul_ui(factorial_inferior, factorial_inferior, i);
        mpf_pow_ui(buff_ciclo_inferior, factorial_inferior, 4);
        mpf_set_ui(buff_ciclo_inferior2, 396);
        mpf_pow_ui(buff_ciclo_inferior2, buff_ciclo_inferior2, 4 * i);
        mpf_mul(buff_ciclo_inferior, buff_ciclo_inferior, buff_ciclo_inferior2);
        mpf_div(buff_sumatoria, buff_ciclo_superior, buff_ciclo_inferior);
        mpf_add(sumatoria, sumatoria, buff_sumatoria);
 
    }
    mpf_mul(sumatoria, sumatoria, primera_parte);
    mpf_ui_div(sumatoria, 1, sumatoria);
    return mpf_get_str(NULL, &exponente, 10, 0, sumatoria);
}

Está muy bien. Una alternativa al problema de la velocidad, podría ser ir introduciendo cifra a cifra en un fichero. Pero eso ya sale del tema, ya que cambiaría el algoritmo xD

Las asignaciones de este tipo de números son muy lentas. Si puedes evitarte usar esa variable auxiliar aumentarías velocidad.

Y bueno el cout es muyyyyyyyy lento, tardarías menos en imprimir haciendo así:

#include <sstream>
 
//....
 
string valor = mpf_get_str(NULL, &buff, 10, 0, sumatoria);
stringstream aux;
 
for (i = 1; i < digitos * 100 + 1; i++) {
       aux << valor[i];
       if (i % 10 == 0) aux << ' ';
       if (i % 500 == 0) aux << endl;
       if (i % 50 == 0 && i < digitos * 100) aux <<endl << i + 1 << ":\t";
}
aux << endl;
 
cout<<aux.str();
 

El problema no es imprimir muchos datos, sino el acceso a pantalla. Cada vez que adcedes a pantalla el programa se "congela" hasta que se refresque.

Por eso he condensado toda tu salida en un solo string, para que haga un solo acceso a pantalla.

PD: Si crees que la diferencia de tiempo es baja, te invito a poner un simple cout en el bucle de cálculo. A ver la diferencia de tiempos

Interesante el tema... Ya solo falta que haya un contador en la consola diciendo cuantos decimales se han calculado y los segundos requeridos

Un saludo.