Has creado un puntero a <char>. Como su nombre indica un puntero apunta y el tuyo no apunta a ningún sitio. Lo que haces con <malloc> es reservar espacio en ese puntero pero en este caso ya tienes una cadena C que es <nombre> entonces con hacer que <p_nombre> apunte a <nombre> ya está.

int main(){
 printf("Introduzca su nombre: ");
 char nombre[20],*p_nombre;
 fgets(nombre, 20, stdin);
 p_nombre = nombre;
 printf("%s",p_nombre);
} 

Además de eso te he modificado la función <gets()> ya que es mejor usar <fgets()> y así especificar el número de caracteres que va a coger la función. De todos modos si lo dejas así e introduces 19 o 20 caracteres se te va a quedar el último o los dos últimos en el buffer ya que tienes capacidad para 20 caracteres pero tienes que contar el salto de línea "\n" cuando pulsas enter y el "\0" que indica el final de cadena.

Para copiar por ejemplo los caracteres útiles de <nombre> en <p_nombre> puedes usar la función <strncpy()> que te permite introducir cuántos caracteres se van a copiar. Ya que el problema que tú estabas teniendo es que en ningún momento asignas un valor a <p_nombre>. No es lo mismo reservar espacio que asignar, primero haces hueco para meter algo, pero luego tienes que meter ese algo. Y recuerda al trabajar con memoria dinámica liberarla al terminar el programa. Suerte.