El presente estudio es un análisis de los procesos mecánico-termodinámicos que se describen en el mecanismo “Cuerda Continua” de Claudio Bianco, concretamente en el apartado “Móvil Perpetuo”. La dirección es:
http://www.cuerdacontinua.com (se requiere su lectura previa).
Vamos a intentar hacer los cálculos a ver si encontramos el error. Para ello supondremos el sistema como ideal, los procesos termodinámicos se considerarán isotérmicos, la temperatura del sistema constante e igual a 20ºC o lo que es lo mismo 293ºK según el S.I. y la presión atmosférica P0= 101325 Pa.
Se seguirá la misma nomenclatura, en lo que sea posible, que en el artículo “Cuerda Continua”.
Se utilizará el siguiente criterio de signos:
http://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_signos_termodin%C3%A1micoSe parte del siguiente estado:
- La campana está en la parte superior de su recorrido, pero vacía de aire.
- El depósito del compresor está lleno de aire con una presión de P1 igual a 20 atms, o lo que es lo mismo 2026500 Pa según el S.I.
El primer proceso será el de bajada de la campana, y podemos obtener fácilmente el trabajo de bajada Wb, ya que tenemos una fuerza constante y paralela al movimiento que es rectilíneo vertical. La fuerza será, el peso de la campana, menos el empuje que experimenta por estar sumergida en un liquido.
Wb= (Mt*G-V*D*G)*H; Wb= (10000*9,81-2*1000*9,81)*100;
Wb= 7848000 J; Por ser un trabajo ejercido por el sistema, será negativo.
Luego: Wb= -7848000 J;
El segundo proceso será el de llenar la campana de aire que está en el fondo. Para ello primero tenemos que calcular el volumen del depósito del compresor. Si el depósito de aire del compresor está a 2026500 Pa de presión, cuando se haya llenado la campana de aire, deberá estar a la misma presión a la que está el agua en la profundidad a la que está la campana, de esa forma se autorregulará el flujo de aire. Por lo tanto deberá estar a:
P2= D*G*H+P0; Pd= 1000*9,81*100+101325; P2= 1082325 Pa;
Sabiendo la presión inicial P1, la presión final P2 y el volumen de aire Vf que ha de tener la campana para que empiece a flotar, podemos calcular el volumen del depósito de aire del compresor Vd.
Según la ecuación de estado de los gases ideales en procesos isotérmicos P*V= Cte; tenemos que:
P1*Vd= P2*(Vd+Vf);
Siendo: Vf= Mt/D-V; Vf= 8 m3;
Luego: 2026500*Vd= 1082325*(Vd+8); 944175*Vd= 8658600;
De donde Vd= 9,17 m3;
Luego, el segundo proceso será una expansión isotérmica, en donde el volumen inicial es Vd= 9,17 m3 y el volumen final es Vd+Vf= 9,17+8= 17,17 m3. Y sabiendo que la temperatura es 293ºK, ya podemos calcular el trabajo de llenado de la campana We. Para ello emplearemos la formula que está deducida en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Expansi%C3%B3n_isot%C3%A9rmicaDe la ecuación de estado de los gases ideales:
http://es.wikipedia.org/wiki/Gas_idealTenemos que: P*V= n*R*T;
Luego: 2026500*9,17= n*R*T; n*R*T= 18583005;
We= n*R*T*Ln[(Vd+Vf)/Vd] ; We= 18583005*Ln(17,17/9,17);
We= 11655751,12 J; Por ser un trabajo ejercido por el sistema, será negativo.
Luego: We= -11655751,12 J;
We es el trabajo que realiza el gas al expandirse cuando llena la campana. Este trabajo es el mismo que el calor que absorbe del sistema para mantener la temperatura del aire constante, ya que si no se enfriaría.
Cave observar que We no es igual al trabajo que ha de hacer el compresor para volver a llenar el depósito hasta ponerlo a la presión de P1, ya que este proceso parte de diferentes presiones y volúmenes.
Tercer proceso, la ascensión de la campana. Cuando la campana asciende, la presión hidrostática va disminuyendo con la altura, esto hace que el volumen de aire se vaya expandiendo, y al ocupar mayor volumen, la fuerza de empuje sobre la campana aumente. En este proceso tenemos dos trabajos, uno el que realiza el gas al expandirse ,Wg, (que se transformará completamente en calor absorbido), y el otro el que realiza la campana al desplazarse verticalmente Wa.
Para calcular Wg emplearemos un método parecido al utilizado en el cálculo de We. Partimos del volumen de llenado de la campana Vf que está a una presión de P2, y sabemos que la presión cuando la campana está arriba es la presión atmosférica, o sea P0= 101325 Pa.
Luego: P2*Vf= 1082325*8= P0*V0= 101325*V0; 8658600= 101325*V0;
De donde el volumen de aire en la campana en la parte superior V0= 85,45 m3.
Utilizando la ecuación del trabajo en una expansión isotérmica:
Wg= n*R*T*Ln(V0/Vf); Wg= 18583005*Ln(85,45/8) ; Wg= 44013659,06 J;
Por ser un trabajo ejercido por el sistema, será negativo.
Luego: Wg= -44013659,06 J;
El cálculo de Wa es complejo debido a que la fuerza de empuje de la campana está en función de la profundidad a la que se encuentra, por lo tanto sería la resolución de una integral definida entre H y 0 de Fe(x) donde Fe es la fuerza de empuje en función de x (profundidad). Este cálculo no lo haremos, si no que igualaremos al final del análisis las energías, y de ahí obtendremos Wa.
Cuarto proceso, vaciado de la campana y con el aire que se extrae de ella se comprime y se llena el depósito del compresor. Es por ello por lo que se puede considerar el sistema como cerrado.
Comprobación:
P0*V0+P2*Vd= 101325*85,45+1082325*9,17= 8658221,25+9924920,25= 18583141,5;
P1*Vd= 2026500*9,17= 18583005;
Luego P0*V0+P2*Vd es más o menos igual a P1*Vd;
Trabajo de compresión del aire para rellenar el depósito hasta la presión P1= 2026500 Pa, Wc. Este trabajo es el que realiza el compresor, y se transforma también en calor cedido al sistema, por ser una compresión isotérmica en la que se mantiene la temperatura constante.
Para calcular Wc lo haremos en dos partes, Wc1, trabajo para comprimir el aire que está dentro del depósito hasta P1, y Wc2, trabajo para comprimir el aire que está fuera del depósito, en la campana, hasta P1 también.
Wc1: Sabemos que la presión a la que se encuentra el aire que está dentro del deposito es P2= 1082325 Pa; y su volumen Vd= 9,17 m3. La presión final será P1= 2026500 Pa. Luego su volumen después de comprimirlo será:
Vc1= 1082325*9,17 /2026500= 4,9 m3.
Y el trabajo Wc1= n*R*T*Ln(Vc1/Vd)= 18583005*Ln(4,9/9,17);
Wc1= -11646007,91 J; Por ser un trabajo ejercido sobre el sistema, será un trabajo positivo.
Luego: Wc1= 11646007,91 J;
Wc2: Sabemos que la presión a la que se encuentra el aire que está en la campana es P0= 101325 Pa; y su volumen V0= 85,45 m3. La presión final será P1= 2026500 Pa. Luego su volumen después de comprimirlo será:
Vc2= 101325*85,45/2026500= 4,27 m3;
Comprobación: Vc1+Vc2= 4,9+4,27= 9,17 m3; igual a Vd.
Y el trabajo Wc2= n*R*T*Ln(Vc2/V0)= 18583005*Ln(4,27/85,45);
Wc2= -55680584,61 J; Por ser un trabajo ejercido sobre el sistema, será un trabajo positivo.
Luego: Wc2= 55680584,61 J;
Y el trabajo de compresión total Wc= Wc1+Wc2= 11646007,91+55680584,61;
Wc= 67326592,52 J;
Ahora ya podemos calcular Wa planteando la siguiente ecuación (principio de conservación de la energía en procesos isotérmicos de sistemas cerrados, “Primera Ley de la Termodinámica”).
La suma de todas las energías, o lo que es lo mismo de todos los trabajos, será igual a cero.
Wb+We+Wa+Wg+Wc=0;
De donde Wa= -Wb-We-Wg-Wc;
Wa= 7848000+11655751,12+44013659,06-67326592,52;
Wa= -3809182,34 J; Trabajo ejercido por el sistema.
Para comprobar si los cálculos del análisis están bien, solo habría que resolver la integral definida que nos da el Wa, y si coincide con el valor aquí calculado, entonces, todo estaría correcto.
Saludos.
MA40.
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