Me lo he planteado, pero no sé si hay algún programa que permita usar un ordenador remotamente sin necesidad de tener pantalla en el ordenador remoto (solo una torre barata o un mini pc) y que no muestre mi actividad.
Sí que puedes. Lo configuras bien, más que programa, el sistema y dejas sólo la torre en marcha, sin periféricos Si lo haces ten en cuenta un SAI por si hay problemas con la corriente. La torre consume muy poco y si hubiese un corte de electricidad aunque fuese muy largo no caería.