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Descripción hyper supra breve: recorreremos el fichero y por el condicional, concatenamos las lineas pares en impares, en sus
respectivos StringBuilder, para luego escribirlos en los ficheros de cada quien, se concatena xq de lo contrario se escribiria la ulllltima linea solamente en cada fichero.

* El método write crea los ficheros si no existen, para flojos como yo, y vagos como tu  

* la explicación esta 100% mala, llevo dias sin dormir

    private static final Path RUTA_PARES = Path.of("pares.txt");
    private static final Path RUTA_IMPARES = Path.of("impares.txt");

public App() {
        readLines("archivo.txt"); //fichero principal
    }
 
    /**
     * (e % 2) == 0 pares , !=0 impares
     *
     * @param rutaFichero
     */
    private void readLines(final String rutaFichero) {
        try (final Stream<String> lines = Files.lines(Path.of(rutaFichero))) {
 
            final AtomicReference<Integer> atomicCounter = new AtomicReference<>(1);
            final StringBuilder pares = new StringBuilder();
            final StringBuilder impares = new StringBuilder();
 
            lines.forEach(linea -> {
                final Integer count = atomicCounter.getAndUpdate(e -> ++e);
                if ((count % 2) == 0) {//pares
                    pares.append(linea);
                    pares.append(System.lineSeparator());
                } else { //IMPARES
                    impares.append(linea);
                    impares.append(System.lineSeparator());
                }
            });
            writer(RUTA_PARES, pares.toString());
            writer(RUTA_IMPARES, impares.toString());
 
        } catch (IOException e) {
            e.printStackTrace();
        }
 
 
    }
 
    private void writer(final Path path, String line) {
 
        if(!path.toFile().exists()) {
            try {
                Files.createFile(path);
            } catch (IOException e) {
                e.printStackTrace();
            }
        }
 
        try (final BufferedWriter br = Files.newBufferedWriter(path)) {
 
            br.write(line);
            br.write(System.lineSeparator());
 
        } catch (IOException ex) {
 
        }
    }