¿Cuando el exponente es negativo se hace raíz?
Por ejemplo 2^4=16
¿16^-4=2?

¿Y cuando es decimal?
Es extraño porque 1^N=1, pero si N es decimal por ejemplo 1.5 habría que hacer 1*1*0.5 y da menos que 1. 1^1 da más que 1^1.5.

Eso es todo por ahora, gracias.

Para la parte de exponentes fraccionarios:
El resultado es 1. Porque 1  elevado a lo que sea es siempre uno.

Un número decimal -fraccionario o sea racional- es la expresión de una fracción. Por ejemplo el que tu citas 1,5 = 15 / 10

La definición de número A elevado a una potencia fraccionaria n/m es que es el resultado de elevar A a n y extraer la raíz m-ésima.

Expresado matemáticamente:

A^n/m = RAIZ(m-ésima)[Aⁿ]

Así que como 1,5 = 15/10, 1 elevado a 1,5 es igual a 1 elevado a (15/10). Y por la definición anterior eso es igual a la raíz-décima de 1 elevado a 15.

1^1,5 = 1^15/10 = RAIZ(10)[1¹⁵]

Pero como 1 elevado a cualquier número natural es siempre 1; 1¹ = 1² = 1³ = ... 1¹⁵ =... 1ⁿ = 1

nos queda que será RAIZ(10)[1]

Y cómo, igualmente, cualquier raíz entera de 1 es igualmente 1:
RAIZ(1) = RAIZ-cuadrada(1) = RAIZ-cúbica(1) = RAIZ-cuarta(1) =... RAIZ-décima(1) =... RAIZ-enésima(1) = 1

Pues ya está. El resultado es 1.

La clave está en la definición de elevado a una fracción  n/m <==>
1º elevar el número al numerador n
2º extraer la raiz m-ésima del denominador m.

Si ahora lo unes a lo que ha dicho el anterior forero de elevar a números negativos, ya tienes la expresión de elevar cualquier número a cualquier exponente positivo, negativo, entero o fraccionario.
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EDITO
Nos quedarían fuera los exponentes irracionales. Los números irracionales son aquellos que no sólo tienen infinitos decimales sino que además no se pueden expresar como fracción. Los más famosos son
RAIZ-cuadrada(2), PI y el número e. Pero éso... es otra historia.

Supongo que el exponente se hace antes de la división.