No se de donde sacaste eso, la segunda integral es (-2)*(1/(1-x^2)) que da -2.arctan(t).
y la primera integral da 6x la integral de la imagen:

¿Podrías poner las fracciones más detalladamente?, no se que parte esta dentro de la fracción, que parte esta fuera, etc... :S

Lo tienes copiado tu mal el enunciado, ya que si es verdad que:
2/t  -   2/(t+3)   =   6/t(t+3)

Pero si en la expresión del final le pones un menos, la igualdad es mentira.

¿Me puedes poner el segundo bien detallado?

El segundo tampoco es correcto..., creo que la expresión correcta del segundo es pero no me hagas mucho caso:

1/(t^2-1)=1/(t-1)      *      1/(t+1)


No es similar porque si te das cuenta la segunda expresión tiene una singularidad, es decir, al poner uno en t, la fracción 1/(t-1) se nos va a infinito. No así como la expresión primera.

Y luego una simple sustitución.
t=2

2/5= 1-1/3=2/3, definitivamente 2/5 no es similar a 2/3.

Bueno yo me voy a dormir, pero si quieres que te ayudemos con expresiones, traelas copiadas correctamente. O antes de pedir una demostración demuestra con una calculadora que al sustituir valores sale lo mismo en ambos lados. No me importa demostrarte los pasos de porqué son iguales, ¡Pero si son iguales!, aquí lo que hago es demostrarte que no lo son jajaja

Solo tienes que dar un valor con la calculadora sustituir y listo para ver si está bien o mal una igualación. No es matemática avanzada