Saludos,

- Por defecto, la ventana toma el tamaño adecuado para contener a los elementos que albergue. Entonces no deberías de darle un tamaño fijo a esta, solo deberías de fijar los tamaños de los elementos contenidos dentro.

- Luego, si quieres que el elemento Text tenga un ancho que se adecúe al ancho del String más largo, en este caso la primera línea de text_info, puedes contar su tamaño con: len(texto_info[:texto_info.find("\n")])

from tkinter import *
from tkinter import ttk
 
class Aplicacion():
 
  def __init__(self):
    self.raiz = Tk()
    # self.raiz.geometry('300x200')
    self.raiz.resizable(width=False,height=False)
    self.raiz.title('Informacion sobre el mes')
    self.tinfo = Text(self.raiz, width=40, height=10)
    self.tinfo.pack(side=TOP)
    self.binfo = ttk.Button(self.raiz, text='Informacion', command=self.verinfo)
    self.binfo.pack(side=LEFT)
    self.bsalir = ttk.Button(self.raiz, text='Salir', command=self.raiz.destroy)
    self.bsalir.pack(side=RIGHT)
    self.binfo.focus_set()
    self.raiz.mainloop()
 
  def verinfo(self):
    self.tinfo.delete("1.0", END)
 
    info1 = "###Jano, dios de los portales. January en Inglés###"
    info2 = "###Mes de las hogueras purificatorias (februa)###"
    info3 = "###Marte, dios de la guerra###"
    info4 = "###Aprilis o Apertura de flores(primavera)###"
    info5 = "###Maia, diosa de la abundancia###"
    info6 = "###Juno, diosa del hogar y la familia###"
    info7 = "###Por Julio cesar###"
    info8 = "###Por Octavio Augusto###"
    info9 = "###Septimo mes###"
    info10 = "###Octavo mes###"
    info11 = "###Noveno mes###"
    info12 = "###Decimo mes###"
 
    texto_info = "(Enero:) " + info1 + "\n\n"
    texto_info += "(Febrero:) " + info2 + "\n\n"
    texto_info += "(Marzo:) " + info3 + "\n\n"
    texto_info += "(Abril:) " + info4 + "\n\n"
    texto_info += "(Mayo:) " + info5 + "\n\n"
    texto_info += "(Junio:) " + info6 + "\n\n"
    texto_info += "(Julio:) " + info7 + "\n\n"
    texto_info += "(Agosto:) " + info8 + "\n\n"
    texto_info += "(Septiembre:)" + info9 + "\n\n"
    texto_info += "(Octubre:) " + info10 + "\n\n"
    texto_info += "(Noviembre:) " + info11 + "\n\n"
    texto_info += "(Diciembre:) " + info12 + "\n\n"
 
    self.tinfo.insert("1.0", texto_info)
    self.tinfo.config( width=len(texto_info[:texto_info.find("\n")]) )
 
def main():
  mi_app = Aplicacion()
  return 0
 
if __name__ == '__main__':
  main()