La API solamente es para que el proceso sea más rápido y simple, pero tu idea la podes aplicar igual simplemente tenes que investigar como funciona el refresco de la nueva IP, seguramente tu navegador haga una petición POST y ahí envía los parámetros necesarios, ahí irá tu nueva IP y ya solo te queda recibir los datos del servidor es decir de la página para comprobar que efectivamente se haya actualizado a la nueva IP.

De todas maneras la mejor forma desde mi punto de vista es hacer una réplica de tu navegador, vas al Inspector de elementos en el apartado Red/Network y desde ahí vas a poder ver el proceso que realiza tu navegador, por ejemplo las peticiones, las cabeceras/headers que envía, los parámetros, si hay alguna redireccion, etc.