Este es un error típico con la sobrecarga tanto del operador << como del operador >>.
Ambas sobrecargas son funciones, no métodos. Un método de una clase puede acceder a los miembros privados por si sólo porque en eso consiste un método, en una función que pertenece a una clase.

Sin embargo, esa sobrecarga es una función, no un método. Entonces el prototipo de la función debe definirse fuera de la clase. Y la implementación de la función si se hace en un fichero distinto se hace sin referenciar la clase a la que pertenece (ya que no pertenece a ninguna).

Y cuando queremos hacer que una función sea "friend" entonces el prototipo lo incluimos dentro de la clase precedido de la palabra <friend> pero si no se usa la palabra <friend> entonces hay que declararlo fuera de la clase.

class MiClase{
    private:
        // miembros y metodos privados
    public:
        // miembros y metodos publicos
        // Opcion 1: sobrecarga con friend
        friend std::ostream& operator<<(ostream&, const MiClase&);
};
// Opcion 2: sobrecarga sin friend
std::ostream& operator<<(ostream&, const MiClase&); 

Espero haber resuelto tus dudas respecto a este tema. Suerte

PD: He visto un extraño <ostring> en tu código...

Para los operadores, considera el tipo que esta a la izquierda del operador. Son distintos cuando usas << y cuando usas ==

ostream << clase

clase == clase

Donde defines la funcion o metodo, depende del tipo de la izquierda del operador.

El primero de ellos se define fuera de la clase, el segundo dentro de la misma.

Los metodos al interior de la clase no necesitan especificar el operando de la izquierda del operador, pues se sobreentiende que se trata del objeto donde se ejecuta el metodo. Solo requieren especificar 1 parametro, el de la derecha del operador.

Cuando pones la firma de la funcion dentro de la clase, sin poner friend, el compilador te va reclamar no porque no pusiste "friend", te va a reclamar porque al ponerla dentro de la clase, es un metodo como el resto y el operator<< solo puede recibir 1 parametro y le estas pasando 2.

La sobrecarga del operador << suele hacerse de dos maneras (típicamente); si necesita acceder a miembros privados o protegidos de la clase, será una función friend; si no lo necesita, se prefiere una función libre. (Más, te diría que siempre que existe la alternativa, se prefieren funciones libres a funciones miembro).

No quisiera entrar en controversias personales, pero... sobre la afirmación de YreX-DwX:

Es muy frecuente usar la palabra "método" para referirse a funciones miembro de alguna clase, pero que sea un uso común no quiere decir que sea la forma correcta, y menos que sea obligatorio. El estándar C++ las llama "member function", y los que no hablamos inglés, por comodidad les decimos "funciones miembro", claro que también alguien puede decirles "procedimientos", "métodos", o cosas así, pero es sólo por comodidad, no porque así deba decirse. (Prueba: ponte a buscar las distintas ocurrencias de la palabra "method" en el documento del estándar y verás que en ningún caso se aplica a funciones, a ningún tipo).

Por otro lado:
Aquí tienes un problema, "nombre" no tiene memoria asignada (con new, por ejemplo), es un puntero que apunta a quién sabe donde, de modo que lo esperable es que strcpy haga un destrozo.