Es con pilas, porque con pilas es la mejor manera de hacerlo. Basta meter en la pila los que vas encontrando de abertura. Cuando encuentres uno de cierre, mira si en la pila está el equivalente, pero de abertura. Si está, lo quitas, y sigues. Si no está, es incorrecto. Paréntesis, llaves, corchetes, comillas dobles y simples.

Recorres toda la cadena, y cada vez que encuentres un elemento de apertura, lo introduces en la pila. Luego, cuando encuentres un elemento de cierre, miras si es del mismo tipo que el último de la pila. Si es del mismo tipo, quitas el último elemento de la pila. Sinó, significa que la cadena es incorrecta.
Si llegas al final sin ningún error y con la pila vacía, entonces la cadena es correcta. Sinó, es incorrecta.

La teoría está dicha. Ahora ponte a estructurar el código. Si ya tienes una estructura pila y sus funciones (o una clase en caso de C++), desarrolla el programa, al menos todo lo que puedas. Lo pruebas, y ves si funciona. Si llegas a un punto en el que no sabes qué va mal, ponlo aquí.