Hola.

Si reservas memoria pero no pides datos, el programa fallará. Es decir, strlen() no dice el número de caracteres reservados, sino el de caracteres ocupados. Esto es porque strlen() cuenta caracteres hasta que encuentre un '\0'. En tu caso, te dio 32, porque 32 posiciones en memoria más allá de a[0] se encontraba '\0'. A mí me dio en este programa 3 por lo mismo:

#include <string.h>
#include <iostream>
 
using namespace std;
 
int main()
{
    char* a = new char[20];
    cout << strlen(a);
 
}
 

Depende de lo que se encuentre en memoria en cada ordenador en un momento determinado.

Sin embargo, cuando asignes algo a esa cadena, sí te dará la longitud, porque encontrará el '\0' que has asignado tú, y no lo que haya encontrado el ordenador por casualidad. Así sale bien:

#include <string.h>
#include <iostream>
 
using namespace std;
 
int main()
{
    char* a = new char[20];
    cout << strlen(a);
    cin >> a;
    cout << strlen(a);
}
 

Un saludo.

De nada. Por cierto, mientras lo leías edité el mensaje con una explicación de por qué pasa eso, por si quieres saberlo. 

El bucle for que has creado debería tener como condición que j < i+1. La variable i representa la posición del último carácter "real" de la cadena, ahí no incluye el '\0'. Si le añades ese 1 también copia el '\0':

for (int j = 0; j < i+1; j++)
         b[j] = a[j];

Así quedaría completo:

#include <string.h>
#include <iostream>
 
using namespace std;
 
int main()
{
    char* a = new char[20];
    char *b;
    int i = 0;
    cin >> a;
 
    while (a[i] != '\0')
    i++;
 
    b = new char[i+1];
 
    for (int j = 0; j < i+1; j++)
         b[j] = a[j];
   cout << b;
 
}
 

A todo esto, en C++ ya no se usan los char*. Es mucho más sencillo usar los strings:

string Texto = "Hola mundo";
cout<<Texto<<endl<<Texto.size()<<endl;
Texto = "Reducido"; // Los strings se ajustan automaticamente
cout<<Texto<<end<<Texto.size();

Te olvidas de reservar memoria con new/delete, el solito se agranda y se reduce conforme lo vayas necesitando... También hay muchas funciones internas para tratar con ellos (buscar, concatenar...)
http://www.cplusplus.com/reference/string/string/

En este ejercicio concretamente, me pedían que utilizara el char*, no sé por qué, pero bueno, nunca está demás aprender como hacerlo así.