El código hecho en C++ es así:

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
float a,b,c;
 
class calificacion{
private:
float numeroA, numeroB, numeroC;
public:
	void inicio(float, float, float);
	void pedirnumeros();
	float operacion();
	void mostrar ();
};
 
	void calificacion::inicio(float _numeroA,float _numeroB,float _numeroC)
{
	numeroA = _numeroA;
	numeroB= _numeroB;
	numeroC = _numeroC;
 
}
 
void calificacion::pedirnumeros(){
	printf("Escribe el primero numero : ");
	scanf("%f",&a);
	printf("Escribe el segundo numero: ");
	scanf("%f",&b);
	printf("Escribe el tercer numero: ");
	scanf("%f",&c);
}
 
float calificacion::operacion() 
{
	a = a/3;
	b = b/3;
	c = c/3;
 
	float promedio;
	promedio = a + b + c;
	return promedio;
 
}
 
void calificacion::mostrar(){
		cout<<"El promedio es: "<<calificacion::operacion(); 
}
 
int main(int argc, char *argv[]) {
	calificacion c1;
	c1.inicio(a,b,c);
	c1.pedirnumeros();
 
	c1.mostrar();
 
 
	return 0;
}

Funciona perfectamente,
Pero cuando lo intento pasar a C me quedó así:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
float a,b,c;
 
struct calificacion{
private:
	float numeroA, numeroB, numeroC;
public:
	void inicio(float, float, float);
	void pedirnumeros();
	float operacion();
	void mostrar ();
};
 
void calificacion::inicio(float _numeroA,float _numeroB,float _numeroC)
{
	numeroA = _numeroA;
	numeroB= _numeroB;
	numeroC = _numeroC;
 
}
 
void calificacion::pedirnumeros(){
	printf("Escribe el primero numero : ");
	scanf("%f",&a);
	printf("Escribe el segundo numero: ");
	scanf("%f",&b);
	printf("Escribe el tercer numero: ");
	scanf("%f",&c);
}
 
float calificacion::operacion() 
{
	a = a/3;
	b = b/3;
	c = c/3;
 
	float promedio;
	promedio = a + b + c;
	return promedio;
 
}
 
void calificacion::mostrar(){
	printf("El promedio es: %f",calificacion::operacion()); 
}
 
int main(int argc, char *argv[]) {
	calificacion c1;
	c1.inicio(a,b,c);
	c1.pedirnumeros();
 
	c1.mostrar();
 
 
	return 0;
}

Los errores están al nombrar las estructuras el programa no me acepta los "::" por ejemplo: calificacion::operacion()

Y todo lo que está dentro del main() en C no lo acepta.

Al igual que no se como se puede reemplazar el "private:" y el "public:"


Saludos!

En C no existeix públic: ni private: todo es público.
Las estructuras no tienen métodos, éstos son funciones de ámbito global que deberán tener como uno de sus argumentos un puntero a la estructura con la que van a interactuar.
Es normal que las funciones hagan referencia en su nombre al tipo de dato con que van a interactuar.

He hecho unos arreglillos para que se trabajen con los datos de la estructura. En tu código original no usabas los datos de la clase, sino unos floats globales y sólo usabas los métodos. De igual forma si se definen en orden oportuno las funciones en un único archivo no hace falta escribir los prototipos.

#include <stdio.h>
 
typedef struct {
    float numeroA;
    float numeroB;
    float numeroC;
} calificacion;
 
void calificacion_pedirnumeros(calificacion *cal) {
    printf("Escribe el primero numero : ");
    scanf("%f", &cal->numeroA);
 
    printf("Escribe el segundo numero: ");
    scanf("%f", &cal->numeroB);
 
    printf("Escribe el tercer numero: ");
    scanf("%f", &cal->numeroC);
}
 
float calificacion_operacion(calificacion *cal) {
	return (cal->numeroA + cal->numeroB + cal->numeroC)/3;
}
 
void calificacion_mostrar(calificacion *cal) {
    printf("El promedio es: %f\n", calificacion_operacion(cal));
}
 
int main() {
    calificacion c1;
    calificacion_pedirnumeros(&c1);
    calificacion_mostrar(&c1);
}