if (h <= 23 && m <=60 && s <= 60){ 
  s++;
}else { 
  printf ("Los datos no son correctos");
}
 
if (s == 60) {
    s = 00
    m++ }
 
if (m == 60) {m = 0}
 

Primero al s++ de dentro del if le falta un punto-coma ";". Ahora estas haciendo que m,h y s sean menores o iguales, pero luego compruebas que s y m sean iguales a 60. Si sigues sin verlo te explico:

En el caso de que s=60,m=60 y h<=23 entrara dentro del if y hara s++ siendo s ahora 61. Despues miraras si s==60 pero no porque es 61 y los minutos seguiran siendo 60. Cuando los minutos son 60 los reinicias m=0, pero no incrementas la hora.

Claro que se puede,de hecho yo para la minishell que estoy creando uso eso para los comandos en vez de diferentes aplicaciones.

#include <stdio.h>
int main() {
	int a;
	char n;
	n = 165;
	a = 1;
	char comando[20];
	do{
	printf("");
	gets(comando);
	if (comando[0] == 'd' && comando[1] == 'i' ) {
		comando[0] = ' ';
		comando[1] = ' ';
		printf("%s",comando);
	}
		if (comando[0] == 's' && comando[1] == 'a' && comando[2] == 'l' && comando[3] == 'i' && comando[4] == 'r'){
			a = 0;
		}
	} while(a == 1);
}

Es decir,para los comandos uso:
si comando[0] == 'd',y así para evaluar una string,aunque hay muchas maneras.