Lo que pasa es que en ésta validación:
if(isset($_POST["g-recaptcha-responde"]) && $_POST["g-recaptcha-responde"])
Si se manda el $_POST["g-recaptcha-responde"] como ="", técnicamente, está cumpliendo ambas condiciones y puede pasar por el form.
Tendrías que validar que el captcha $_POST["g-recaptcha-responde"] fuera igual al validador de éste campo.
Un saludo!