Te podría dar explicaciones individuales de cada cosa pero el tema es largo y hay que verlo en su conjunto para entenderlo.

1. ifndef es directiva del preprocesador. Si no se ha definido el símbolo que le sigue se ejecutará todo lo que sigue hasta el endif.
define define el símbolo que le sigue. Esto son guardas de preprocesador e impiden que el archivo se incluya dos veces. En C está prohibido declarar dos veces el mismo objeto.

2. Cuándo un archivo incluye está entre comillas dobles el preprocesador lo buscará en la ruta actual del archivo.c. Si está entre ángulos < > el archivo es buscado en los directorios por defecto de las librerías.

Eso directivas del lenguaje makefile y es todo un mundo. Tu ejemplo dice:
Para construir p1 mira si p1.c y common.h han sido actualizados.
La línea que hay después, que es una sentencia bash, hará compilar p1.c

La cosa está en que encuentres la solución.
Cómo harías que
1 -> 1
2 -> 3
3 -> 5
...

Piensa en argv cómo un array de cadenas que te hayan dado rellenado y argc contiene cuántos elementos tiene argv.
Debes saber que:
argv[0] es el nombre del programa,
argv[1] es el primer argumento,
argv[2] es el segundo argumento.
Y así.
En caso de tu programa argc debería valer 3 pues tienes tres cadenas un argv.

Un array de strings en C++ o un array de arrays de char en C.

Pero eso después de controlar la cadena. A atof le puedes pasar un entero y no se quejará, cosa que va contra el enunciado del problema.

Consigue los números cómo cadenas de texto.
Los enteros no deberán tener más que dígitos, los reales deberán tener, además de dígitos, una coma o punto decimal (según tu país).

Ya que la multiplicación son sumas sucesivas y la exponenciación son multiplicaciones sucesivas, pues haces cada operación en funciones separadas: en una multiplicas usando sumas y en la otra, aprovechando la primera, elevas con multiplicaciones sucesivas. Algo así:

#include <stdio.h>
 
int func_mul(int m, int n) {
    int retval = 0;
    int negativo = n<0;
 
    if(negativo)
        n = -n;
 
    while(n--)
        retval += m;
 
    return negativo? -retval : retval;
}
 
int func_exp(int base, unsigned ex) {
    int retval = 1;
 
    while(ex--)
        retval = func_mul(retval, base);
 
    return retval;
}
 
int main() {
    int x;
    unsigned y;
 
    printf("base > ");
    scanf("%d", &x);
    printf("exp  > ");
    scanf("%d", &y);
    printf("%d", func_exp(x, y));
}

Revisa los operadores. ^ no es para calcular potencias.

Usa el desplegable 'Código GeSHi' para elegir el lenguaje e introduce el código entre las etiquetas generadas.

Por eso he dicho que mostraras el código. Tal vez estás haciendo uso de variables tipo entero cuando deberían ser reales.

Muestra todo el código.