Entendido! No estaba muy seguro de esto, a veces me funcionaba y otras no, pregunto yo ahora sobre las comillas. Para poner el valor de la variable en la query y no usar las comillas porque el valor de la variable es un INT, tengo que castearla como INT en la query?, o sea:

$sql = "UPDATE alumnos SET Edad = ".((int)$edad)." WHERE MATRICULA = ".((int)$clave)."";

^ Está eso bien? O el simplemente si no le pongo la comilla lo toma como un INT

No tienes porque hacer un casting. Pero para variables que continenen datos introducidos por el usuario puedes forzar el dato recibido a entero. De esta forma te aseguras que en la query no tengas valores introducidos diferentes a enteros (e.g. sqli). En el where si encuentra caracters sin comilla lo va a asociar con datos de otra fuente (tabla.campo) o si forma parte del lexico de mysql (OR, UNION, //, ##, etc) realiza las acciones correspondientes.