Hola:

En un textbox tengo un contenido, por ejemplo un 0, al hacer clic para escribir, quiero que se borre automáticamente. Nada de seleccoinarlo yo con el ratón y luego borrarlo con Delete. ajjaja.

Lo he intentado de dos maneras y nada.

private void textBox_Tamaño_EEPROM_KeyDown(object sender, KeyEventArgs e)
        {
            textBox_Tamaño_EEPROM.Clear(); // Limpiar.
        }

Y así:

       private void textBox_Tamaño_EEPROM_KeyDown(object sender, KeyEventArgs e)
        {
            textBox_Tamaño_EEPROM.Text = ""; // Limpiar.
        }

A parte de eso, solo me deja escribir hasta un carácter.

Hola.

1. El evento TextBox.KeyDown, como su nombre indica por si mismo es un evento de teclado, no del ratón. Éste se dispara cuando presionas una tecla (para ser exactos: al momento de pulsarla, no al soltarla).

2. Lo que quieres hacer es una muy mala idea, aparte de ser algo intrusiva. La razón es simple: al intentar editar el texto no podrás seleccionar parte de éste, pues siempre que hagas un click, el texto / la selección se borraría.

Un ejemplo gráfico de lo que acabo de mencionar:

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Una vez aclarado estos inconvenientes que he explicado aquí arriba, como respuesta a tu pregunta: una solución sería controlar el evento TextBox.Click

private void textBox_Click(object sender, KeyEventArgs e) {
    DirectCast(sender, TextBox).Clear();
}

Saludos.