Hola,
Tienes que hacer un modelo de componentes, no hacerlo como si fuese una aplicación de windows.
Me explico:
Tienes que tener una clase Dado, una clase Ficha, una clase Jugador, Tablero, etc
Para el Parchis, supongo que necesitarás alguna forma de llevar una ruta en el formulario, y tener un modelo sobre esta, ya que hay partes de la ruta en donde las fichas de otro color no pueden entrar.
Uhmmm
Como siempre son 4 jugadores, digamos, 4 rutas diferentes, lo que puedes hacer es tener 4 rutas guardadas en una lista de puntos, algo así: List<Vector2> en donde vector2 es una estructura con "X" y "Y", de esta forma puedes almacenar una ruta.
Tendrías 4 listas de esas, cada una para un color. Y luego en la ficha, tienes un index, y cuando avanzas, dibujas la ficha en la posición de la lista respectiva según el index de la ficha.
Espero me entiendas xD
Un saludo. y si te gusta mucho el mundo de los juegos, por qué no usas un engine que te de mejores gráficos, Prueba con XNA, aunque requiere de estudios, te va a dar mejores resultados que un windows form.
Si al final del día sigues queriendolo hacer en Formularios, prueba usando System.Drawing.