Si quieres acceder al miembro "MySocket" desde otra clase distinta a donde declaraste dicho objeto, entonces debes reemplazar la visibilidad "Private" para eliminar la restricción de acceso al miembro declarado a nivel de clase, logicamente.

En su lugar puedes utilizar la visibilidad "Friend", la cual te permitirá acceder a dicho miembro a nivel de ensamblado, es decir, desde cualquier otra clase o módulo que exista dentro de tu proyecto. Ejemplo:

Imports ShadowMud.Sockets
 
Public NotInheritable Class Form1 : Inherits Form
 
    Friend WithEvents MySocket As AsyncSocket
 
End Class

Imports ShadowMud.Sockets
 
Public NotInheritable Class Class1
 
    Private Sub New()
    End Sub
 
    Public Shared Sub MyMethod()
        Dim sock As AsyncSocket = My.Forms.Form1.MySocket
        ' ...
    End Sub
 
End Class

También puedes usar la sentencia de visibilidad "Public" en lugar de "Friend", claro está, suponiendo que necesites y/o no te importe que cualquier otra persona pueda acceder al miembro "MySocket" referenciando el ensamblado que estás compilando.

Saludos!