no te puedo ayudar en el código como tal porque no trabajo java... pero puedo ayudarte a desglosar el problema y hacer más o menos un código entendible...


es un problema tal que iniciamos con

int S = -1;

eso sería -3⁰


luego... las raices van de 6 en 6, el valor del numero no raiz, el indice de la raíz +2 y resto de valores como ya dijiste es fibonacci


entonces puedes hacer una funcion tal que calcule por par (raíz + numero), el primer numero para evitar calcularlo lo pasamos como 0,1,2,3,4,5.... etc

float calculo_par(int indice_raiz, int base_raiz, int potencia){
    indice_raiz = 5 + indice_raiz*6;
    int numero_solo = indice_raiz + 2;
    return calcular_raiz_nesima(base_raiz, indice_raiz) - calcular_potencia(numero_solo,potencia);
}

ahora... para el ciclo principal que sumará todo... la variable ciclos indicar{a cuantas veces repetiremos este calculo

int valor_fib1 = 1; 
int valor_fib2 = 1;
float resultado = -1;//este es "S"
for(indice=0;indice=ciclos;indice++){
  resultado = resultado + calculo_par(indice, valor_fib1, valor_fib2);
  valor_fib1 = valor_fib1 +  valor_fib2;
  valor_fib2 = valor_fib2 + valor_fib1; 
}
 

con eso el programa debería ir bien, pero aún tienes que hacer las potencias y raíces... tambien tienes que estar pendiente que la variable no se te desborde...

aunque es probable que para el 3er ciclo suceda(19³ es un numero de más de 32bits, no se de cuanto es el int de java, pero 25²¹ debe ser de más de 64 bits)... si existen esos limites, trata de buscar como hacer cálculos de "precisión arbitraria"


espero que puedas traducir mis funciones a java y te sean útiles