Yo para servidor web personal utilizo un notebook de 100€ desde hace 10 años. Le hice un underclock de 1'6ghz a 1'2ghz y reducí todas las frecuencias.

De sistema le metí un ubuntu server con linux, apache y node.js. Para controlarlo uso webmin por el puerto 10.000. Configurar por ejemplo un LAMP Linux, Apache, MySQL y PHP de 0 con un disco duro vacio no tardas ni 15minutos en tenerlo funcionando online sirviendo tu web. También le tengo ftp usando la versión cifrada. Puedes ponerle un xfce o algo por el estilo si quiered interfaz gráfica, pero es menos que necesaria.

Es bastante banal el proceso, abrir puertos, configurar un par de archivos y poco más. A mi me gusta usar notebooks por el hecho de que se pueden mover de forma sencilla y con la batería para incluso utilizar una red pública de wi-fi con más bandswitch o que te proporcionan más privacidad.

También puedes contratar un VPS por más o menos 3 euros al mes. Todo depende de seguridad, estimación de tráfico, servicios, uso...

No, me refiero a un notebook normal. Un portatil de dimensiones pequeñas con su pantalla y su teclado. Puedes plegarlo y tienes un servidor que te ocupa lo mismo que un libro. Puedes llenar una estantería de libros de servidores y conectarlos con un NAS por ejemplo.
Un barebone es una placa con un procesador y un cable de corriente. Es un ordenador de tamaño no oficial, sin nada más.

No entiendo como vas a instalar el sistema operativo sin el uso de teclado y monitor para al menos prepararlo para ser manejado remotamente para reiniciarlo, updstes, configuración, etc. Ni tampoco entiendo tu fobia a un teclado externo o un monitor.

Si quieres algo pequeño usa un móvil. Repito, un barebone es un pc que no trae todas las piezas montadas para ahorrar costes.

Sí puedes servir una web en un NAS sin problemas. Yo tengo un Qnap de servidor vpn.