tu mismo puedes compilar tu kernel con los modules que necesites, más ligero que eso no creo que exista nada..

1) los kernels de linux los puedes sacar de aquí: http://www.kernel.org/ también puedes pensar en usar Android, pero no hay mucha información, en cualquier caso lo importante y donde vas a sufrir será en la incorporación de los módulos (son los que dan la funcionalidad al sistema (Drivers para entendernos)), ya que necesitaras unos muy específicos para este tipo de terminales, y sinceramente no se donde encontrarlos.

Para la compilación, esta guía puede serte útil http://www.andinux.org/drupal/compilarkernel

2) lo del programa seria agregar ese programa al runlevel correspondiente, mas información aquí: http://xpiderblog.blogspot.com/2007/06/agregar-programas-la-carga-de-linux.html

3)no se a que tipo de software te refieres, pero seguro que con alguna búsqueda en google encuentras algo similar

También verificar que los initscripts se lanzen en paralelo o que se use un sistema pensado para el paralelismo (como systemd, aunque eso acarrea sus bugs) y desactivar lo que no se usa también impacta en el tiempo que toma levantar la computadora.
Respecto a lo de iniciar una app en pantalla completa, es cuestion de indicar al display manager que inicie con un usuario específico de forma automática y que ese usuario, en su .xinitrc inicie esa aplicación con las dimensiones de la resolución de tu pantalla. ("pantalla completa" en sí no existe en X11)
Sino, la que te queda es usar un utilitario externo dentro del .xinitrc que  maximize la aplicacion.

Saludos.

P.S → Seguramente quieras usar un window manager como openbox, fluxbox o similares en vez de un entorno completo ... cosa que es más rápida de cargar y además podés "limitarlo" más.