Abre terminal:
sudo su

Busca la version de tomcat disponible:
apt-cache search tomcat

X es la version recuerda cambiar la X en todos los comandos por la version que sea.
apt-get install tomcat X

Paquetes adicionales:
apt-get install tomcatX-docs tomcatX-admin tomcatX-examples tomcatX-user

Inicia Reinicia o Apaga Tomcat:
service tomcatX start
service tomcatX restart
service tomcatX stop

Puedes probar si funciona en la ip del host puerto 8080 que es el que tiene por defecto.

La instalacion manual con el .tar es un coñazo de comandos, tienes que crear usuario etc. No me acuerdo xD

Intala JDK si no lo tienes. Creo que ya se define automaticamente al instalar tomcat pero.no te lo puedo confirmar porque en el equipo en el que instale tomcat tenia instalado previamente JDK8 para usar con Android Studio que estaba virtualizando tablets para probar la portabilidad de unos programas que estaba compilando en QT. Creo que tienes que asignar una variable del sistema al directorio de JDK. Supongo que vendra detallado en la documentacion.

Yo creo que en el archivo que descargaste con los comandos, el tomcatX_docs deberias de poder configurarlo. Ahí tienes todo lo necesario.

Puedes descargar ssh para conectarte al tomcat.