/etc/network/interfaces ahí abres el archivo con tu editor de texto, la añades los servers DNS que quieras por ejemplo 1.1.1.1 1.0.0.1 8.8.8.8
Guardas y actualizas.
Mirate esto, tienes info útil.
https://www.cyberciti.biz/faq/setting-up-an-network-interfaces-file/

Para que vas a usar el servidor?

Nunca me he encontrado con ese problema de que se me resetee TODO de nuevo.
No tengo ni idea de que hiciste durante la instalación, pero llevo usando ubuntu server casi 10 años y nunca me encontré eso.
Lo más parecido es algun software o configuración que sobrescriba los archivos. Pero ni aún así afectaría a todo.
Se me hace prácticamente imposible pensar que eso pueda suceder, ya que muchas cosas se escriben en el disco duro y no tiene sentido que desaparezcan, ya que puedes cortar la alimentación de golpe, y el sistema no puedes acceder al disco para borrar nada al apagar.
Entonces supongo que está formateando y reinstalando en bucle al iniciar, no lo tienes instalado o no sabes explicar tu problema.

sudo su
Pon tu contraseña root.

apt install resolvconf

Escribe en
/etc/network/interfaces

dns-nameservers 1.1.1.1 1.0.0.1

Después con el comando:
ifdown eth0 && ifup eth0
Y el comando:
resolvconf -a eth0
Debería guardar aplicar y portar los servidores DNS directamente en el resolv.conf

Si no lo tienes, créalo. Si lo tienes comprueba que se hayam incluido la entrada con los servidores 1.1.1.1 y 1.0.0.1 en el resolv.conf

Si no se ha creado o incluido, hazlo a mano, creando el archivo de nuevo el resolv.conf y le escribes:
dns-nameserver 1.1.1.1
dns-nameserver 1.0.0.1
En
/etc/resolvconf/resolv.conf.d/tail
Asegurate de guardar usando el editor de texto.

Reinicia y el sistema, y comprueba que todo funcione.
En caso contrario copia y pega aquí el contenido de ambos archivos, al iniciar de nuevo.

Vuelve a repetir todo el proceso, y esta vez sin apagar, copia aquí el contenido de ambos archivos.

dns-search determina el indexado para resolver los dominios.
example.org no hace nada en particular, simplemente es un ejemplo. Es una página creada para que la puedas usar como ejemplo sin necesitar ningún permiso.

Hablando en plata para que lo entiendas. Si tienes tu servidor DNS y webs alojadas en red local, el dns-search cambia las url automáticamente. Por ejemplo si quieres ir desde el chrome a servidor/unarchivocualquiera.extensiondelarchivo es decir ServidorDeSergio/FotoDeMiCumpleaños.jpg el dns-search the cambiará la URL antes de intentar resolverla, es decir, tal y como lo tienes ahora, al escribir ServidorDeSergio/FotoDeMiCumpleaños.jpg en el firefox lo que en realidad sucede es que esa url se resuelve como: servidor.loquepusisteeneldnssearch/unarchivocualquiera.extensiondelarchivo es decir
ServidorDeSergio.example.org/FotoDeMiCumpleaños.jpg

Lo normal es que en dns-search pongas tu dominio para acceder en redes locales, en caso de tenerlo. Si no, da igual lo que pongas.

Por cierto, se te arregló el problema al poner linea de dns-search example.org no porque la linea esté haciendo algo. Si no porque al guardar el archivo, o generar uno nuevo, ya no se restablece al iniciar. Puedes borrar la linea poner cualquier carácter en el archivo y te seguirá funcionando. ^^
No es magia, tiene explicación haha.  Ver que existe el archivo y ha sido mldificado no se te genera uno por defecto automáticamente.

Te di una explicación larga con comandos para que pudieses resolver otros problemas asociados si surgían, pero con poner el comando apt install resolvconf ya se te genera el archivo, y no se debería de restablecer por defecto.

Me alegro que fuese fácil de solucionar.

No, no tienes que poner tu servidor dns en el dns-search. Eso solo se usa para redes locales.
Lo que dice ese 127.0.0.53 es que si escribes en el navegador la url /desktop/miweb.html te la va a traducir como 127.0.0.53/desktop/miweb.html
Qué utilidad tiene esto?
Imagínate que tienes 3 ordenadores conectados por red local, y 2 tienen el archivo miweb.html en el escritorio. Sus direcciones son:
ordenador 1 -> 192.168.0.40
ordenador 2 -> 192.168.0.42
ordenador 3 -> 192.168.0.53
En el ordenador número 1 el archivo miweb.html tiene dentro una pagina con fotos de tu familia.
En el ordenador número 2 el archivo miweb.html es distinto, pero se llaman igual, y en esta caso tiene fotos con tus amigos.
El ordenador 3 es el que estás usando ahora.

Si no tienes nada puesto en el dns-search:
Y escribes en el navegador de tu ordenador 3 la url escritorio/miweb.html no se cargara nada.

Si pones en el dns-search 192.168.0.40
Y escribes en el navegador desde tu ordenador 3 la url escritorio/miweb.html se cargará la página con fotos de tu familia.
En este caso el dns resuelve la url como 192.168.0.40/escritorio/miweb.html
O lo que es lo mismo -> ordenador1/escritorio/miweb.html

Si pones en el dns-search 192.168.0.42
Y escribes en el navegador desde tu ordenador 3 la url escritorio/miweb.html se cargará la página con fotos de tus amigos.
En este caso el dns resuelve la url como 192.168.0.42/escritorio/miweb.html
O lo que es lo mismo -> ordenador2/escritorio/miweb.html


El dns-search te ahorra que pongas a mano la dirección completa. Solo funciona con direcciones de redes locales. Si pones www.google.com no hace nada. Por eso te dije que da igual lo que pongas en dns-search no va a hacer nada si no usas redes locales.
Por eso te funciona pongas lo que le.pongas en el dns-search, porque eso solo se aplica con url de direcciones locales.

El 1.1.1.1 es el servidor DNS de cloudflare. Al que te conectas cuando escribes google.com en el navegador y te dice que la dirección de google.com es  216.58.208.238 tu en realidad no te conectas nunca a google.com ya que eso es solo un nombre para que te acuerdes tu, ya que es más fácil que memorizar 216.58.208.238
El servidor DNS hace ese cambio automático. Simplemente tiene una lista que dice:
google.com = 216.58.208.238
bing.com = 204.79.197.200
Etc.

Entonces tu al escribir google.com no te estás intentando conectar a google, lo que estás haciendo es preguntarle al servidor de cloudflare, hey, cual es la dirección ip de la web que estoy buscando? Y el te dará esa ip.

 Pero si por ejemplo yo creo un servidor DNS y lo pongo online bajo la ip 185.184.123.134.123 (es un ejemplo que me acabo de inventar) y le pongo google.com = 204.79.197.200
Y tu en la configuración pusiste dns-nameserver 185.184.123.134.123 y guardaste.
Cuando vayas a tu navegador y pongas google.com le preguntarás la IP a mi servidor DNS y este te dirá que la ip de google.com es 204.79.197.200 lo que hará que en vez de ir al buscador de google, vayas al buscador de bing.

El servidor DNS por defecto viene puesto en tu router en la configuración y suelem ser servidores DNS de tu ISP la empresa que te da el internet. Por ejemplo movistar, vodafone, ono...
Muchas empresas tienen DNS "ocultos" que aunque cambies los DNS del router estés seguirán viendo las paginas web que intentas resolver, ya que "secuestran" las direcciones IP que pides aunque ya estén resolvidas por otro DNS. Por eso es importante cifrar los datos que salen de tu computador y descifrarlos cuando ya no estén dentro de los servidores de tu ISP. Redes VPN y redes como TOR precisamente hacen eso. Los datos se mandan cifrados desde tu PC hasta el PC de VPN o el nodo de salida de TOR.
Estos datos van desde tu PC hasta el router, y el router los manda a los servidores de tu compañía telefónica. Normalmente son varios servidores, no uno solo. Una vez que estos datos pasan por todos los servidores de tu compañía, van al servidor de tu VPN o nodo de salida de TOR.
Entonces ese servidor VPN o nodo de salida de TOR descifran los datos. Y estés datos descifrados van al servidor de la web que tu pusiste en el navegador. Entonces este servidor de la web le responde al servidor VPN o nodo, estés cifran los datos de la web, y te los envían cifrados. Y tu cliente los descifra para que puedas verlos.

Hay servidores de muchísimos tipos, entonces es difícil buscar info general que sea realmente útil. Lo mejor es buscar información en particular acerca del tipo de servidor que te interese según el uso que le quieras dar.