Si tienes dos longitudes de las 3 de un triángulo puede resolverse...

La primera cosa a saber es la fórmula de un triángulo rectángulo, que no es ni más ni menos que el teorema de Pitágoras: c^2 = (a^2 + b^2), siendo a y b los catetos y c la hipotenusa. c = Sqr(a^2 + b^2), a = Sqr(c^2 - b^2), puedes despejar cualquiera para obtener la fórumla precisa para calcular el lado desconocido...

Bien cuando un triángulo no es rectángulo, resulta siempre ser la suma de dos triángulos rectángulos unidos por un cateto, llamado ahora altura. Justo como se ve en la figura...

Observa la hipotenusa, el cateto vertical es el que se llama altura 'h', con la hipotenusa forma dos ángulos rectos, uno a cada lado y corta en la parte alta al triángulo en dos, luego ahora tienes 2 triángulos rectángulos, que s epuedne resolver con el teroema de Pitágoras. La altura divide la hipotenusa 'c' del triángulo mayor en dos catetos para los sendos triangulos llamados ahora m y n , asi  h= m + n. (se suele llamar 'm' al lado mayor y 'n' al lado menor.

Calculando h, ya tienes las dos medidas para calcular ambos triángulos rectángulos, de donde obtiene m y n y despejando pues para esos 2 triangulos, la que ahora es su hipotenusa es el dato conocido.

Puedes bucear en las fórmulas relacionadas con la altura y los lados en que queda dividida la hipotenusa (m y n):
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo

Son matemáticas que se estudian con 11-13 años... aunque si no se ejercita se olvidan.

¿Se admite solución mediante cálculo numérico? ¿O tiene que ser una solución analítica? Teóricamente se puede plantear un sistema de ecuaciones, el problema es que no es un sistema lineal, sino ecuaciones en senos y cosenos, y creo que no tendría una solución analítica.

Basándose en que la suma de los ángulos de un triángulo es 180 y por tanto la suma de los ángulos desconocidos tiene quer 55,5; en que la altura dibujada es por una parte igual a
8,3 / seno(ángulo izquierdo)
y por otra igual a
5,4 / seno(ángulo derecho)
los lados desconocidos respectivamente iguales a
8,3 * cos(ángulo izquierdo) - 5,4 * cos(ángulo derecho)

No sé si es un problema puramente matemático y es obligada una resolución analítica o es de informática y se trata de hacer un programa para una resolución de cálculo numérico. Si es lo segundo creo que no sería muy complicado de programar con un bucle de aproximaciones sucesivas hasta que el error fuese inferior a un valor elegido.

No me he entretenido en programarlo pero con una hoja de cálculo se puede hacer en un ratito. Si tomamos como aproximación suficientemente buena para las longitudes un decimal, ya que los datos están expresado con un decimal, una solución buena es:
ángulo izquierdo: 21,395º
ángulo derecho: 34,105º
altura: 3,0278
longitud de la base: 12,2; (7,7 + 4,5) - a izda. y dcha. de la altura respectivamente

Según esta aproximación los lados datos serían:
8,299991985 ~ 8,3
5,399927283 ~ 5,4
Y el error en la altura es de: -3,78494E-5

Se podría afinar hasta el error que se quisiera y como digo no lo veo muy complicado de programar.
EDITO:
Pues sí que tiene solución analítica y es bastante fácil y rápida. Cuando dejas de hacer problemas como rutina pierdes la práctica. Pero revisándolo me he dado cuenta. Basta poner el triángulo con el vértice superior en el centro de un sistema de ejes coordenados y hacer coincidir un lado, por ejemplo el de 8,3 y aplicar geometría analítica elemental: ecuaciones de la circunferencia y la recta y distancia entre dos puntos del plano. Por si todavía interesa a alguien es ésto: