Buenas.

La cuestión es que actualmente estoy viviendo en una casa de un amigo y me gustaría saber si el o el resto de personas que viven en el domicilio y que tienen acceso al mismo router pueden ver mis búsquedas. Si es así como puedo evitarlo?

Aunque se conecten al mismo Router creo que no es posible, al menos que ambas computadoras estén conectadas en red y que el administrador, en dado caso quien haya conectado las computadoras en red lo haya permitido. En el caso del wifi no, porque solo estás tomando la señal no tienen ninguna conexión interna tu computadora y la del dueño del wifi, a diferencia de instituciones u oficinas publicas donde todas las Pc están conectadas mediante cables de red.

En todo caso lo mejor es que navegues en modo incógnito, si es desde Google Chrome tienes esta opción y no se queda guardado nada en el Historial de lo que busque en google chrome si te sirven esto de ayuda.