Las sumatorias te permiten calcular el número de veces que se va a ejecutar el bucle... no el tiempo de ejecución.

for( i=1; i<n; i++ )

Este bucle se ejecuta n veces.

for( j=i+1, j<=n; j++ )

Este bucle se va a ejecutar desde i+1 hasta n... n veces, teniendo en cuenta que i va a ir variando en cada una de esas n veces. Es decir, se va a ejecutar n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+...+1. Para expresar esta ecuación de forma genérica necesitas un sumatorio.

for( k=1; k<=j; k++ )

El número de veces que se ejecuta este bucle depende de j, por lo que también depende de i. En este caso necesitas un sumatorio doble porque dependes de dos variables que van variando en cada iteración.

El tiempo de ejecución de un bucle anidado es algo más complicado porque tienes que tener en cuenta el número total de repeticiones del bucle... Ahí es donde entra en juego las ecuaciones de los sumatorios.

Por ejemplo. El tiempo de ejecución de una iteración del primer bucle será igual O(numero de veces que se ejecuta el código del tercer bucle * numero de instrucciones en el tercer bucle )