#include <stdio.h>
#include <string.h>
 
#define MAX_DIGITOS 200
 
void suma (char a[], char b[], char c[]){
  int i,temp,residuo=0,lon_a,lon_b,dif;
  lon_a = strlen(a);
  lon_b = strlen(b);
  if (lon_a > lon_b){
    dif=lon_a-lon_b;
    for (i=lon_b-1; i >=0;i--)
      b[i+dif]=b[i];
    for (i=0; i < dif;i++)
        b[i]='0';
  }
  else if (lon_b > lon_a){
    dif=lon_b-lon_a;
    for (i=lon_a-1; i >=0;i--)
      a[i+dif]=a[i];
    for (i=0; i < dif;i++)
        a[i]='0';
  }
  for (i=strlen(a)-1; i>=0;i-- ){
    temp = a[i]-'0' + b[i]-'0' + residuo;
    c[i+1]=temp%10+'0';
    residuo=temp/10;
  }
  c[0] = residuo + '0';
  if (c[0]=='0'){
    for (i=0; i < strlen(a);i++ ){
      c[i]=c[i+1];
    }
    c[strlen(a)]='\0';
  }
  c[strlen(a)+1]='\0';
}
 
int main(void){
  char a[MAX_DIGITOS] = /*  "99" */ /* "99" */ "123456123456123456123456123456123123";
  char b[MAX_DIGITOS] = /* "199" */ /* "99" */  "983456123456123456123456123456123123";
  char c[MAX_DIGITOS+1];
  suma (a,b,c);
  printf ("\n  %s +\n  %s=\n\n %s\n ",a,b,c);
  return 0;
}

La verdad que viendo el código de eferion el mio es como pobre, demasiado cortito.

Y sí, ya, sé debía usar memoria dinámica pero sólo quería algo rapidito para vangodp, ya si procede lo mejoro con las observaciones que aporten. E insisto, es un código modestito, sólo pretendía sumar un par de números grandes.

.....Bueno, está bien, lo mejoro. ¿Cómo?, pues lo de la memoria dinámica lo dejaré otra ocasión, ahora se me apetece otra cosa .......¿y si intentamos que los número grandes puedan estar en cualquier base de 2 a 36?. Es decir poder sumar números grandes en decimal o binario o octal o hexadecimal o ... y así sumar números grandes que estén entre las ya mencionadas bases de 2 a 36, los dos números en la misma base, claro...... otra cosa a mejorar.

De antemano aclaro que para bases superiores  a 10 no lo tengo del todo testado, pero creo que sí, que funciona:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
 
#define MAX_DIGITOS 300 /* o 3000*/
#define DIGITOS   "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
#define BASE  16
 
void suma (char a[], char b[], char c[]){
  int i,temp,temp_a,temp_b,residuo=0,lon_a,lon_b,dif,digit;
  lon_a = strlen(a);
  lon_b = strlen(b);
  if (lon_a > lon_b){
    dif=lon_a-lon_b;
    for (i=lon_b-1; i >=0;i--)
      b[i+dif]=b[i];
    for (i=0; i < dif;i++)
        b[i]='0';
  }
  else if (lon_b > lon_a){
    dif=lon_b-lon_a;
    for (i=lon_a-1; i >=0;i--)
      a[i+dif]=a[i];
    for (i=0; i < dif;i++)
        a[i]='0';
  }
  for (i=strlen(a)-1; i>=0;i-- ){
    if(a[i]-48>9 )
      temp_a = a[i] -55 ;
    else
      temp_a = a[i] - '0';
    if(b[i]-48>9)
      temp_b = b[i] -55;
    else
      temp_b = b[i] - '0';
    temp = temp_a + temp_b + residuo;
    digit = DIGITOS [temp % BASE];
    if (digit<10)
      c[i+1]=DIGITOS [temp % BASE] + '0';
    else
      c[i+1]=DIGITOS [temp % BASE] ;
    residuo = temp / BASE;
  }
  c[0] = residuo + '0';
  if (c[0]=='0'){
    for (i=0; i < strlen(a);i++ )
      c[i]=c[i+1];
    c[strlen(a)]='\0';
  }
  c[strlen(a)+1]='\0';
}
 
int main(void){
  /** ¡¡¡ NO OLVIDES CAMBIAR LA BASE DE (2-36) EN #DEFINE¡¡¡ **/
  /** Tienes tres ejemplos: base 16, base 2, base 10 **/
  char a[MAX_DIGITOS] = "A33A15FADBC9"  /*"1001001110111001" */ /*"123456123456123456123456123456123123"*/;
  char b[MAX_DIGITOS] = "FFC593C5BA33A" /*"1001001110111001" */ /* "983456123456123456123456123456123123"*/;
  char c[MAX_DIGITOS+1];
  suma (a,b,c);
  printf ("\n  %s +\n  %s=\n\n %s\n ",a,b,c);
  return 0;
}