• No uses <stdio.h>. Esta librería es típica de C, no de C++ (en C++ es <cstdio>) y además no la usas para nada. Usas las entradas/salidas de <iostream> por lo que no la necesitas. Hay que saber lo que se pone y por qué se pone.
• Sobre el <cout> y el <endl>: Se pueden concatenar estos últimos y no es necesario poner unas comillas vacías para usarlo por separado. También puedes usarlo antes de una cadena y después. Además puedes usar el caracter especial "\n" para saltos de línea (hay una sútil diferencia entre "\n" y <endl> pero bueno...)

cout << "Texto" << endl;
cout << "Texto" << endl << endl << endl;
cout << endl;
cout << endl << "Texto" << endl;
cout << "\nTexto" << endl; 

• No estás usando un array/arreglo bidimensional. Esto es una matriz y se declara con dos parejas de corchetes: <tipo> <nombre_matriz>[<filas>][<columnas>].
• Estás acumulando valores (notas) en <suma> pero no has inicializado <suma> por lo que puede tener cualquier valor.
• Debes guardar todas las notas y al no usar una matriz, una vez que has utilizado las notas de un alumno, las pierdes porque guardas las notas del siguiente.

#include <iostream>
 
using namespace std;
 
// Usamos constantes y asi podemos agrandar o reducir los valores del programa sin tener que modificarlo entero
const int MAX_ALUMNOS = 100; // numero maximo de alumnos que podemos tratar
const int NUM_NOTAS = 3; // numero de notas por alumno
 
int main(){
    // Creamos una matriz. Cada fila son las notas de un alumno y cada columna es una nota
    double notas[MAX_ALUMNOS][NUM_NOTAS];
    int num_alumnos; // numero de alumnos que vamos a tratar. Debe ser menor o igual que <MAX_ALUMNOS>
 
    // El promedio de cada alumno podemos guardarlo (necesitamos un array/arreglo mas entonces) o calcularlo y sobrescribirlo para cada alumno
    double promedio[MAX_ALUMNOS] = {0}; // arreglo para guardarlos con cada celda inicializada en 0
    double promedio = 0; // si no queremos guardarlos, basta con esto. Inicializamos a 0 para poder acumular luego ahi las notas
 
    // Podemos hacer un filtro para obtener el numero de alumnos a tratar
    // El filtro te pide un valor y te lo sigue pidiendo mientras se cumpla la condicion del <while>
    do{
        cout << "Introduce el numero de alumnos: ";
        cin >> num_alumnos;
    }   while(num_alumnos < 1 || num_alumnos > MAX_ALUMNOS);
    // El programa no pasara el filtro hasta que <num_alumnos> este entre 1 y <MAX_ALUMNOS>
    // A partir de ahora usaremos <num_alumnos> en lugar de <MAX_ALUMNOS>
 
    // Pedimos las notas de cada alumno
    for(size_t i = 0; i < num_alumnos; ++i){
        cout << "Notas del alumno " << i+1 << endl;
        for(size_t j = 0; j < NUM_NOTAS; ++j){
        // Pedir cada nota
        }
        // Si vamos a guardar todos los promedios en un arreglo, podemos calcularlos aqui
    }
 
    // ...El resto del programa...
}