#include <iostream>
#include <string>
#define MAXCLIENTES 10

using namespace std;

class Cliente {
private:
    string apellido;
    string dni;
    float facturacion;
public:
    string getApellido();
    void setApellido(const string &cadena);
    string getDni();
    void setDni(const string &cadena);
    float getFacturacion();
    void setFacturacion(const float &numero);
};

string Cliente::getApellido() {
    return apellido;
}

void Cliente::setApellido(const string &cadena){
    apellido.assign(cadena);
}

string Cliente::getDni() {
    return dni;
}

void Cliente::setDni(const string &cadena){
    dni.assign(cadena);
}

float Cliente::getFacturacion() {
    return facturacion;
}

void Cliente::setFacturacion(const float &numero){
    facturacion = numero;
}

int main()
{
    Cliente clientes[MAXCLIENTES];
    int cliente = 0;
    int opcion = 0;
    string auxiliar;
    float auxiliar2;
    char salir = 'S';

    while(salir != 'N' || salir != 'n') {

        cout << "Bienvenido. Inserta el numero del cliente a modificar" << endl;
        cin >> cliente;

        cout << "Ahora selecciona la tarea que deseas realizar" << endl;
        cout << "1 - Consultar apellido" << endl;
        cout << "2 - Modificar apellido" << endl;
        cout << "3 - Consultar dni" << endl;
        cout << "4 - Modificar dni" << endl;
        cout << "5 - Consultar facturacion" << endl;
        cout << "6 - Modificar facturacion" << endl;
        cin >> opcion;

        switch (opcion){
            case 1:
                cout << "El apellido del cliente es: " << clientes[MAXCLIENTES].getApellido() << endl;
                break;
            case 2:
                cout << "Introduce el nuevo apellido del cliente: ";
                cin >> auxiliar;
                clientes[MAXCLIENTES].setApellido(auxiliar);
                break;
            case 3:
                cout << "El dni del cliente es: " << clientes[MAXCLIENTES].getDni() << endl;
                break;
            case 4:
                cout << "Introduce el nuevo dni del cliente: ";
                cin >> auxiliar;
                clientes[MAXCLIENTES].setDni(auxiliar);
                break;
            case 5:
                cout << "La facturacion del cliente es: " << clientes[MAXCLIENTES].getFacturacion() << endl;
                break;
            case 6:
                cout << "Introduce el nuevo dato de facturacion del cliente: ";
                cin >> auxiliar2;
                clientes[MAXCLIENTES].setFacturacion(auxiliar2);
                break;
        }
        cout << "Deseas continuar?" << endl;
        cin >> salir;
    }
}

Fíjate en el main, dentro del switch... el error es un poco tonto: entre todos los corchetes has puesto MAXCLIENTES en lugar de cliente, que es la variable en que se ha guardado el número introducido por el usuario. El fallo no tenía nada que ver con los atributos privados de la clase. Estabas accediendo todo el rato a una zona de memoria no inicializada, por eso lo de Segmentation Fault.

¡Saludos!