El problemas está en como obtienes un número par o impar. Si el residuo de la división entre un número y 2 sale 0 es que es par, caso contrario es impar, para esto se usa el operador módulo (%):

numero1 % 2 == 0; // True si es par, False si es impar

También debes usar strcmp o similar para comparar texto, le he puesto un ! delante porque strcmp devuelve 0 si la comparación es Igual, como 0 es considerado False, le pongo el Operador de Negación para pasarlo a Verdadero:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
 
int main(int argc, char *argv[]) {
 
   int numero1, numero2;
   char eleccion[30];
 
   printf("Introduzca el primer digito:\n");
   scanf("%i", &numero1 );
 
   printf("Introduzca el segundo digito:\n");
   scanf("%i", &numero2 );
 
   printf("Introduzca elija el formato a presentar\n");
   printf("Par [p]  ||  impar [i]\n");
   fflush(stdin);
   scanf("%s", &eleccion );
 
   if ( !strcmp(eleccion, "p") && (numero1 % 2 == 0) ) {
     printf("Par: [ %i ]", numero1);
   }
   if ( !strcmp(eleccion, "p") && (numero2 % 2 == 0) ) {
     printf("Par: [ %i ]", numero2);
   }
   if ( !strcmp(eleccion, "i") && (numero1 % 2 != 0) ) {
     printf("impar: [ %i ]", numero1);
   }
   if ( !strcmp(eleccion, "i") && (numero2 % 2 != 0) ) {
      printf("impar: [ %i ]",numero2);
   }
 
   getchar(); // Para pausar la pantalla al final
   return 0;
}

De momento queda así, sin tanto cambio para que lo entiendas, pero siempre se puede optimizar el código ...